Синус 45 градусов

Значение синуса 45 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус ${{45}^{\circ }}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2},$ то есть $\sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ В радианах ${{45}^{\circ }}$ будет $\frac{\pi }{4},$ тогда можно записать еще так

$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

На единичной тригонометрической окружности синус ${{45}^{\circ }}$ или $\frac{\pi }{4}$ изображается следующим образом (рис. 1).

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в сумму выражение $\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)$

Решение

Воспользуемся формулой синуса суммы углов

$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$

получим

$\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\sin {{45}^{\circ }}\cdot \cos x+\cos {{45}^{\circ }}\cdot \sin x$

Учитывая, что $\sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем

$\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos x+\sin x \right)$

Ответ

$\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos x+\sin x \right)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны соответственно $3\sqrt{2}$ см и $4$ см, а угол между ними $\gamma ={{45}^{\circ }}.$

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, то есть, справедлива формула

$S=a\cdot b\cdot \sin \gamma$

По условию $a=3\sqrt{2}, b=4,$ а $\gamma ={{45}^{\circ }}.$ Тогда подставляя все в формулу для площади получим

$S=3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \sin {{45}^{\circ }}=3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12 {cm}^{2}$

Ответ

$S=12$ см $^{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус 45 градусов

Значение синуса 45 градусов

Примеры решения задач