Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус 45 градусов

Значение синуса 45 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус {{45}^{\circ }} равен \frac{\sqrt{2}}{2}, то есть \sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}. В радианах {{45}^{\circ }} будет \frac{\pi }{4}, тогда можно записать еще так

    \[\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

На единичной тригонометрической окружности синус {{45}^{\circ }} или \frac{\pi }{4} изображается следующим образом (рис. 1).

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в сумму выражение \sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)
Решение Воспользуемся формулой синуса суммы углов

    \[\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta \]

получим

    \[\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\sin {{45}^{\circ }}\cdot \cos x+\cos {{45}^{\circ }}\cdot \sin x\]

Учитывая, что \sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2} и \cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2} имеем

    \[\sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos x+\sin x \right)\]

Ответ \sin \left( {{45}^{\circ }}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos x+\sin x \right)
ПРИМЕР 2
Задание Найти площадь треугольника, две стороны которого равны соответственно 3\sqrt{2} см и 4 см, а угол между ними \gamma ={{45}^{\circ }}.
Решение Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, то есть, справедлива формула

    \[S=a\cdot b\cdot \sin \gamma \]

По условию a=3\sqrt{2}, b=4, а \gamma ={{45}^{\circ }}. Тогда подставляя все в формулу для площади получим

    \[S=3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \sin {{45}^{\circ }}=3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12 {cm}^{2}\]

Ответ S=12 см ^{2}