Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула синуса двойного угла имеет вид

    \[    \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \]

Эту формулу легко получить из формулы синуса суммы

    \[\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta \]

положив в ней \beta =\alpha . Действительно

    \[\sin 2\alpha =\sin \left( \alpha +\alpha  \right)=\sin \alpha \cdot \cos \alpha +\cos \alpha \cdot \sin \alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \]

Синус двойного угла еще можно выразить через тангенс и котангенс:

    \[\sin 2\alpha =\frac{2 \text{tg} \alpha }{1+{\text{tg}}^{2}\alpha }; \quad \sin 2\alpha =\frac{2 \text{\text{ctg} } \alpha }{1+\text{ctg}^{2}\alpha }; \quad \sin 2\alpha =\frac{2}{ \text{tg} \alpha + \text{\text{ctg} } \alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение:

    \[ \sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha \]

Решение Выразим первые два множителя через синус двойного угла:

    \[2\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\sin \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)\]

    \[\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{2}\]

Тогда исходное выражение примет вид

    \[\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{2}\]

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на 2:

    \[\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{2\cdot 2}\]

применим к числителю формулу синуса двойного угла \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha и окончательно получим

    \[\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{4}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение выражения

    \[ \frac{ \text{tg} {{22}^{\circ }}30'}{1+{\text{tg}}^{2}{{22}^{\circ }}3{0}'} \]

Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла \sin 2\alpha =\frac{2 \text{tg} \alpha }{1+{\text{tg}}^{2}\alpha }, получим

    \[\frac{ \text{tg} {{22}^{\circ }}3{0}'}{1+{\text{tg}}^{2}{{22}^{\circ }}3{0}'}=\sin (2\cdot {{22}^{\circ }}3{0}')=\sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Упростить выражение

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}\]

Решение Распишем в числителе и знаменателе синусы двойного угла, используя формулу \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha , получим:

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha  \right)}^{2}}-4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha  \right)}^{2}}+4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}\]

Вынесем за скобки в числителе 4{{\sin }^{2}}\alpha , а в знаменателе – 4:

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{4\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}\]

В полученном выражении воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и представим единицу как 1={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha , получим

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha  \right) \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha  \right) \right)}= \]

    \[=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( -{{\sin }^{2}}\alpha  \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}. \]

Вынесем в знаменателе {{\cos }^{2}}\alpha за скобки

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( -{{\sin }^{2}}\alpha  \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}\]

Снова в числителе распишем единицу, используя основное тригонометрическое тождество

    \[\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha  \right) \right)}=\]

    \[=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{-{{\cos }^{4}}\alpha \ }=\text{tg}^{4}}\alpha\]

Ответ