Синус двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула синуса двойного угла имеет вид

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

Эту формулу легко получить из формулы синуса суммы

$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$

положив в ней $\beta =\alpha .$ Действительно

$\sin 2\alpha =\sin \left( \alpha +\alpha \right)=\sin \alpha \cdot \cos \alpha +\cos \alpha \cdot \sin \alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

Синус двойного угла еще можно выразить через тангенс и котангенс:

$\sin 2\alpha =\frac{2 \text{tg} \alpha }{1+{\text{tg}}^{2}\alpha }; \quad \sin 2\alpha =\frac{2 \text{\text{ctg} } \alpha }{1+\text{ctg}^{2}\alpha }; \quad \sin 2\alpha =\frac{2}{ \text{tg} \alpha + \text{\text{ctg} } \alpha }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Упростить выражение:

$\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha$

Решение

Выразим первые два множителя через синус двойного угла:

$2\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\sin \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)$

$\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{2}$

Тогда исходное выражение примет вид

$\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{2}$

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на 2:

$\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{2\cdot 2}$

применим к числителю формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ и окончательно получим

$\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{4}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти значение выражения $\frac{ \text{tg} {{22}^{\circ }}30'}{1+{\text{tg}}^{2}{{22}^{\circ }}3{0}'}$
Решение	Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha =\frac{2 \text{tg} \alpha }{1+{\text{tg}}^{2}\alpha },$ получим $\frac{ \text{tg} {{22}^{\circ }}3{0}'}{1+{\text{tg}}^{2}{{22}^{\circ }}3{0}'}=\sin (2\cdot {{22}^{\circ }}3{0}')=\sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Упростить выражение

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}$

Решение

Распишем в числителе и знаменателе синусы двойного угла, используя формулу $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha ,$ получим:

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \right)}^{2}}-4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \right)}^{2}}+4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}$

Вынесем за скобки в числителе $4{{\sin }^{2}}\alpha ,$ а в знаменателе – 4:

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{4\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}$

В полученном выражении воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и представим единицу как $1={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ,$ получим

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right) \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right) \right)}=$

$=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( -{{\sin }^{2}}\alpha \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}.$

Вынесем в знаменателе ${{\cos }^{2}}\alpha$ за скобки

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \left( -{{\sin }^{2}}\alpha \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}$

Снова в числителе распишем единицу, используя основное тригонометрическое тождество

$\frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right) \right)}=$

$=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( {{\sin }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \ \left( -{{\cos }^{2}}\alpha \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{-{{\cos }^{4}}\alpha \ }=\text{tg}^{4}}\alpha$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус двойного угла

Примеры решения задач