Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус 120 градусов

Значение синуса 120 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус 120 градусов равен \frac{\sqrt{3}}{2}.

Действительно 120 градусов можно представить как {{180}^{\circ }}-{{60}^{\circ }}, применяя формулы приведения, имеем

    \[\sin {{120}^{\circ }}=\sin \left( {{180}^{\circ }}-{{60}^{\circ }} \right)=\sin {{60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Переведем {{120}^{\circ }} в радианы, составим соответствие

    \[{{360}^{\circ }}-\ 2\pi \]

    \[{{120}^{\circ }}-\ x  \]

По пропорции:

    \[{{360}^{\circ }}=\ 2\pi \cdot {{120}^{\circ }}\quad \Rightarrow x =\ \frac{2\pi \cdot {{120}^{\circ }}}{{{360}^{\circ }}}\quad \Rightarrow \quad x=\ \frac{2\pi }{3}\]

Тогда \sin \ \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

На единичной окружности синус 120 градусов находится следующим образом (рис. 1).

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь параллелограмма, если его стороны равны \sqrt{3}/3 и 4 см, а один из его углов равен {{120}^{\circ }}.
Решение Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле

    \[S=a\cdot b\cdot \sin \alpha \]

где a и b стороны параллелограмма, а \alpha угол между ними. По условию a=\frac{\sqrt{3}}{3} и b=4, а \alpha ={{120}^{\circ }}. Подставляя заданные значения в формулу для площади, получим

    \[S=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4\cdot \sin {{120}^{\circ }}\]

Учитывая, что \sin {{120}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2} окончательно получим

    \[S=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2 ({cm}^{2})\]

Ответ S=2 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание Радиус описанной окружности равен 2\sqrt{3} мм, найти сторону вписанного в эту окружность треугольника, лежащую против угла {{120}^{\circ }}.
Решение Согласно обобщенной теореме синусов, отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиуса, то есть

    \[\frac{a}{\sin \alpha }=2R\]

По условию R=2\sqrt{3}, а угол \alpha ={{120}^{\circ }}, подставим эти значения в последнее равенство и выразим неизвестную сторону a

    \[\frac{a}{\sin {{120}^{\circ }}}=2\cdot 2\sqrt{3}\quad \Rightarrow \quad a=4\sqrt{3}\sin {{120}^{\circ }}\]

Учитывая, что \sin {{120}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2} окончательно получим

    \[a=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\quad \Rightarrow \quad a=6 (mm)\]

Ответ a=6 мм