Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства тригонометрических функций

Свойства синуса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел.
  2. Область изменения (множество значений) – отрезок \left[ -1,\ 1 \right].
  3. Функция \sin x – нечетная, то есть \sin \left( -x \right)=-\sin x.
  4. Функция периодическая, с периодом 2\pi:  \sin \left( x+2\pi  \right)=\sin x.
  5. Нули функции: \sin x=0 при x=\pi n,\ n\in Z.
  6. Промежутки знакопостоянства

        \[\sin x>0, \quad x\in \left( 2\pi n,\ \pi +2\pi n \right),\ n\in Z \]

        \[\sin x<0, \quad x\in \left( \pi +2\pi n,\ \text{ 2}\pi +2\pi n \right),\ n\in Z\]

  7. Функция \sin x непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента:

        \[{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x\]

  8. Функция \sin x возрастает при x\in \left( -\frac{\pi }{2}+2\pi n,\ \frac{\pi }{2}+2\pi n \right),\ n\in Z, и убывает при x\in \left( \frac{\pi }{2}+2\pi n,\ \frac{3\pi }{2}+2\pi n \right),\ n\in Z.
  9. Функция \sin x имеет минимальные значения, равные -1, при x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\ n\in Z, и максимальные значение равные 1, при x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\ n\in Z.

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

Свойства косинуса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел.
  2. Область изменения (множество значений) – отрезок \left[ -1,\ 1 \right].
  3. Функция \cos x – четная, то есть \cos \left( -x \right)=\cos x.
  4. Функция периодическая, с периодом 2\pi:  \cos \left( x+2\pi  \right)=\cos x.
  5. Нули функции: \cos x=0 при x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z.
  6. Промежутки знакопостоянства

        \[\cos x>0,\ x\in \left( -\frac{\pi }{2}+2\pi n,\ \frac{\pi }{2}+2\pi n \right),\ n\in Z \]

        \[\cos x<0,\ x\in \left( \frac{\pi }{2}+2\pi n,\ \frac{3\pi }{2}+2\pi n \right),\ n\in Z \]

  7. Функция \cos x непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента

        \[{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x\]

  8. Функция \cos x возрастает при x\in \left( -\pi +2\pi n,\ 2\pi n \right),\ n\in Z, и убывает при x\in \left( 2\pi n,\  \pi +2\pi n \right),\ n\in Z.
  9. Минимальные значения функции \cos x равные -1 принимает при x=\pi +2\pi n,\ n\in Z, а максимальные значение равные 1, при x=2\pi n,\ n\in Z.

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Свойства тангенса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z
  2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
  3. Функция \text{tg}x – нечетная, то есть \text{tg}\left( -x \right)=-\text{tg}x.
  4. Функция периодическая, её период равен \pi:  \text{tg}\left( x+\pi  \right)=\text{tg}x.
  5. Нули функции: \text{tg}x=0 при x=\pi n,\ n\in Z.
  6. Промежутки знакопостоянства

        \[\text{tg}x>0,\ x\in \left( \pi n,\  \frac{\pi }{2}+\pi n \right),\ \in Z \]

        \[\text{tg}x<0,\ x\in \left( -\frac{\pi }{2}+\pi n,\  \pi n \right),\ \in Z\]

  7. Функция \text{tg}x непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

        \[ {{\left( \text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \]

  8. Функция \text{tg}x возрастает в каждом из промежутков \left( -\frac{\pi }{2}+\pi n,\  \frac{\pi }{2}+\pi n \right),\  n\in Z.

Свойства котангенса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел x=\pi n,\ \in Z
  2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
  3. Функция \text{ctg}x – нечетная, то есть \text{ctg}\left( -x \right)=-\text{ctg}x.
  4. Функция периодическая, её период равен \pi:\   \text{ctg}\left( x+\pi  \right)=\text{ctg}x.
  5. Нули функции: \text{ctg}x=0 при x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ \in Z.
  6. Промежутки знакопостоянства

        \[\text{ctg}x>0,\ x\in \left( \pi n,\  \frac{\pi }{2}+\pi n \right),\ n \in Z \]

        \[\text{ctg}x<0,\ x\in \left( \frac{\pi }{2}+\pi n,\  \pi \left( n+1 \right) \right),\ n \in Z\]

  7. Функция \text{ctg}x непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

        \[ {{\left( \text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \]

  8. Функция \text{ctg}x убывает в каждом из промежутков \left( \pi n,\  \pi \left( n+1 \right) \right),\ \in Z.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти область значений функции y=3-5\cos x
Решение Область определения косинуса

    \[-1\le \cos x\le 1\]

Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств и умножим каждую часть последнего двойного неравенства на -5 и так как мы умножаем на отрицательное число, то знаки неравенства изменятся на противоположные:

    \[5\ge -5\cos x\ge -5\]

или

    \[-5\le -5\cos x\le 5\]

Ко всем частям последнего неравенства прибавим 3

    \[3-5\le 3-5\cos x\le 3+5\]

или

    \[-2\le -5\cos x\le 8\]

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случае, множество значений функции y=3-5\cos x есть множество \left[ -2;\ 8 \right].

Ответ y\in \left[ -2;\ 8 \right]
ПРИМЕР 2
Задание Найти «нули» функции y=0,5\cdot \text{tg}3x на промежутке \left[ -\pi ;\ \frac{\pi }{2} \right] и записать их сумму.
Решение Для нахождения «нулей» данной функции необходимо найти те значения x, при которых y=0. Приравняем правую часть функции к нулю, получим:

    \[0,5\cdot \text{tg}3x=0\quad \Rightarrow \quad \text{tg}3x=0\]

По свойству тангенса \text{tg}x=0 при x=\pi n,\ n \in Z; тогда

    \[3x=\pi n\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in Z\]

Из этих значений в промежуток \left[ -\pi ;\ \frac{\pi }{2} \right] попадают значения:

    \[-\pi ;\ -\frac{2\pi }{3};\ -\frac{\pi }{3};\ 0;\ \frac{\pi }{3}.\]

Найдем их сумму: -\pi +\left( -\frac{2\pi }{3} \right)+\ \left( -\frac{\pi }{3} \right)+0+\ \frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}.

Ответ -\frac{8\pi }{3}
ПРИМЕР 3
Задание Для функции y=\cos \,\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi }{4} \right) найти точку максимума на промежутке \left[ 0;\,6\pi  \right].
Решение Функция y=\cos \,x принимает максимальное значение, когда аргумент x=2\pi n. Так как заданная функция имеет сложный аргумент, необходимо приравнять его к 2\pi n и из полученного выражения найти x.

    \[\,\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}=2\pi n;\quad \Rightarrow \quad \frac{x}{3}=-\frac{\pi }{4}+2\pi n;\quad \Rightarrow \quad x=-\frac{3\pi }{4}+6\pi n,\quad n\in Z\]

Только при n=1 получаем значение x=-\frac{3\pi }{4}+6\pi \quad \Rightarrow \quad x=5,25\pi, которое принадлежат промежутку \left[ 0;\,6\pi  \right].

Ответ x=5,25\pi
ПРИМЕР 4
Задание Найти промежутки возрастания функции y=\sin \,\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi }{6} \right)
Решение Функция \sin x возрастает при x\in \left( -\frac{\pi }{2}+2\pi n,\  \frac{\pi }{2}+2\pi n \right),\ n\in Z, то есть когда

    \[-\frac{\pi }{2}+2\pi n<x< \frac{\pi }{2}+2\pi n\]

Используя свойством неравенств, разделим все части последнего неравенства на 3, получим:

    \[-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}<\frac{x}{3}< \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}\]

Далее к каждой части полученного неравенства прибавим \frac{\pi }{6}:

    \[\frac{2\pi n}{3}<\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}< \frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}\]

Таким образом, функция y=\sin \,\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi }{6} \right) возрастает на промежутке x\in \left( \frac{2\pi n}{3},\  \frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3} \right).

Ответ x\in \left( \frac{2\pi n}{3},\  \frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3} \right)