Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гиперболический синус

Определение и формулы гиперболического синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболическим синусом называется функция

    \[ y=\text{sh}x=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}, \quad -\infty <x<\infty , -\infty <y<\infty \]

Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. График гиперболического синуса изображен на рисунке 1.

Рис. 1

Гиперболический синус связан с тригонометрическим синусом следующим образом:

    \[\text{sh}x=-i\sin \left( ix \right)\]

    \[\text{sh}\left( ix \right)=i\sin x\]

Гиперболические синус и косинус связаны следующими соотношениями:

    \[\text{sh}x+\text{ch}x={{e}^{x}}\]

    \[\text{ch}^{2}}x-\text{sh}^{2}}x=1\]

Формула для гиперболического синуса суммы и разности аргумента:

    \[\text{sh}\left( x\pm y \right)=\text{sh}x\cdot \text{ch}y\pm \text{ch}x\cdot \text{sh}y\]

Формула гиперболического синуса двойного угла

    \[\text{sh}2x=2\text{sh}x\cdot \text{ch}x\]

Формула произведения гиперболических синусов

    \[\text{sh}x\cdot \text{sh}y=\frac{\text{ch}\left( x+y \right)-\text{ch}\left( x-y \right)}{2}\]

    \[\text{sh}^{2}}x=\frac{\text{ch}2x-1}{2}\]

Формулы суммы и разности гиперболических функций

    \[\text{sh}x+\text{sh}y=2\text{sh}\frac{x+y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x-y}{2}\]

    \[\text{sh}x-\text{sh}y=2\text{sh}\frac{x-y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x+y}{2}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти приближенное значение \text{sh}2
Решение По определению \text{sh}x=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}, подставляем значение x=2, получим

    \[\text{sh}2=\frac{e^2-e^{-2}}{2}=\frac{1}{2}\left(e^2-\frac{1}{e^2}\right)\]

В последнее выражение подставим значение экспоненты e \approx 2,72:

    \[\text{sh}2\approx \frac{1}{2}\left( {{\left( 2,72 \right)}^{2}}-\frac{1}{{{\left( 2,72 \right)}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\left( 7,3984-\frac{1}{7,3984} \right)\approx \frac{1}{2}\left( 7,3984-0,1352 \right)=3,6316\]

Ответ \text{sh}2\approx 3,6316
ПРИМЕР 2
Задание Доказать тождество \text{ch}^{2}}x-\text{sh}^{2}}x=1
Доказательство По определению

    \[ \text{sh}x=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}; \text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2} \]

Подставим эти выражение в левую часть заданного равенства:

    \[\text{ch}^{2}}x-\text{sh}^{2}}x={{\left( \frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2} \right)}^{2}}-\ \,{{\left( \frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2} \right)}^{2}}= \]

    \[ =\frac{1}{4}\left( {{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}\cdot {{e}^{-x}}+{{e}^{-2x}}-\left( {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}\cdot {{e}^{-x}}+{{e}^{-2x}} \right) \right)= \]

    \[ =\frac{1}{4}\left( {{e}^{2x}}+2+{{e}^{-2x}}-{{e}^{2x}}+2-{{e}^{-2x}} \right)= \frac{4}{4}=1\]

Что и требовалось доказать.