Разность синусов

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы этих углов, то есть

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить:

$\sin \frac{11\pi }{12}-\sin \frac{5\pi }{12}$

Решение

Воспользуемся формулой разности синусов:

$\sin \frac{11\pi }{12}-\sin \frac{5\pi }{12}=2\sin \left( \frac{1}{2}\left( \frac{11\pi }{12}+\frac{5\pi }{12} \right) \right)\cdot \cos \ \left( \frac{1}{2}\left( \frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12} \right) \right)=$

$=2\sin \frac{16\pi }{24}\cdot \cos \frac{6\pi }{24}=2\sin \frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{4}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Преобразовать в произведение

$\sin \left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right)$

Решение

По формуле разности синусов $\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ имеем:

$\sin \left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right)=2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}+\alpha +\frac{\pi }{6} \right)\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}-\left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \right)=$

$=2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}+\alpha +\frac{\pi }{6} \right)\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}-\left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \right)=$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!