Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Разность синусов

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы этих углов, то есть

    \[ \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить:

    \[ \sin \frac{11\pi }{12}-\sin \frac{5\pi }{12} \]

Решение Воспользуемся формулой разности синусов:

    \[  \sin \frac{11\pi }{12}-\sin \frac{5\pi }{12}=2\sin \left( \frac{1}{2}\left( \frac{11\pi }{12}+\frac{5\pi }{12} \right) \right)\cdot \cos \ \left( \frac{1}{2}\left( \frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12} \right) \right)= \]

    \[ =2\sin \frac{16\pi }{24}\cdot \cos \frac{6\pi }{24}=2\sin \frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{4}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Преобразовать в произведение

    \[ \sin \left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \]

Решение По формуле разности синусов \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2} имеем:

    \[ \sin \left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right)=2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}+\alpha +\frac{\pi }{6} \right)\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}-\left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \right)= \]

    \[=2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}+\alpha +\frac{\pi }{6} \right)\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}-\left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \right)= \]

    \[ =2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}+\alpha +\frac{\pi }{6} \right)\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{3}-\left( \alpha +\frac{\pi }{6} \right) \right)= \]

Ответ