Синус умножить на синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведение синусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы этих углов:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right)+\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$

Эта формула еще называется формулой преобразования произведения синусов в сумму. Можно так же перемножить три синуса, справедлива формула

$\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma =\frac{1}{4}\left( \sin \left( \alpha +\beta -\gamma \right)+\sin \left( -\alpha +\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha -\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha +\beta +\gamma \right) \right)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в сумму произведение синусов $\sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}$

Решение

Так как произведение синусов равно

$\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right)+\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$

то данное выражение преобразуется следующим образом

$\sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}=\frac{1}{2}\left( \cos \left( {{36}^{\circ }}-{{24}^{\circ }} \right)+\cos \left( {{36}^{\circ }}+{{24}^{\circ }} \right) \right)=$

$=\frac{1}{2}\left( \cos {{12}^{\circ }}+\cos {{60}^{\circ }} \right)=\frac{1}{2}\left( \cos {{12}^{\circ }}+\frac{1}{2} \right)=\frac{\cos {{12}^{\circ }}}{2}+\frac{1}{4}$

Ответ

$\sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}=\frac{\cos {{12}^{\circ }}}{2}+\frac{1}{4}$

ПРИМЕР 2

Задание

Преобразовать в сумму произведение синусов

$4\sin \frac{\pi }{9}\cdot \sin \frac{2\pi }{9}\cdot \sin \frac{4\pi }{9}$

Решение

Воспользуемся формулой для произведения трех синусов:

Тогда исходное выражение примет вид

$4\sin \frac{\pi }{9}\cdot \sin \frac{2\pi }{9}\cdot \sin \frac{4\pi }{9}=4\cdot \frac{1}{4}\left( \sin \left( \frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}-\frac{4\pi }{9} \right)+\sin \left( -\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right)+ \right.$

$+\left. \sin \left( \frac{\pi }{9}-\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right) \right)=$

$=\sin \left( -\frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{3\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)=$

$=-\sin \left( \frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)=\frac{1}{2}-\sin \left( \frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус умножить на синус

Примеры решения задач