Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус умножить на синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведение синусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы этих углов:

    \[ \sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right)+\cos \left( \alpha +\beta \right) \right) \]

Эта формула еще называется формулой преобразования произведения синусов в сумму. Можно так же перемножить три синуса, справедлива формула

    \[\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma =\frac{1}{4}\left( \sin \left( \alpha +\beta -\gamma \right)+\sin \left( -\alpha +\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha -\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha +\beta +\gamma \right) \right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в сумму произведение синусов \sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}
Решение Так как произведение синусов равно

    \[\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right)+\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)\]

то данное выражение преобразуется следующим образом

    \[ \sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}=\frac{1}{2}\left( \cos \left( {{36}^{\circ }}-{{24}^{\circ }} \right)+\cos \left( {{36}^{\circ }}+{{24}^{\circ }} \right) \right)= \]

    \[ =\frac{1}{2}\left( \cos {{12}^{\circ }}+\cos {{60}^{\circ }} \right)=\frac{1}{2}\left( \cos {{12}^{\circ }}+\frac{1}{2} \right)=\frac{\cos {{12}^{\circ }}}{2}+\frac{1}{4}\]

Ответ \sin {{36}^{\circ }}\cdot \sin {{24}^{\circ }}=\frac{\cos {{12}^{\circ }}}{2}+\frac{1}{4}
ПРИМЕР 2
Задание Преобразовать в сумму произведение синусов

    \[ 4\sin \frac{\pi }{9}\cdot \sin \frac{2\pi }{9}\cdot \sin \frac{4\pi }{9} \]

Решение Воспользуемся формулой для произведения трех синусов:

    \[\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma =\frac{1}{4}\left( \sin \left( \alpha +\beta -\gamma \right)+\sin \left( -\alpha +\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha -\beta +\gamma \right)+\sin \left( \alpha +\beta +\gamma \right) \right)\]

Тогда исходное выражение примет вид

    \[ 4\sin \frac{\pi }{9}\cdot \sin \frac{2\pi }{9}\cdot \sin \frac{4\pi }{9}=4\cdot \frac{1}{4}\left( \sin \left( \frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}-\frac{4\pi }{9} \right)+\sin \left( -\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right)+ \right.\]

    \[ +\left. \sin \left( \frac{\pi }{9}-\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{9}+\frac{2\pi }{9}+\frac{4\pi }{9} \right) \right)=\]

    \[ =\sin \left( -\frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{3\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)=\]

    \[ =-\sin \left( \frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)=\frac{1}{2}-\sin \left( \frac{\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{5\pi }{9} \right)+\sin \left( \frac{7\pi }{9} \right)\]

Ответ