Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гиперболический косинус

Определение и формулы гиперболического косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболическим косинусом называется функция

    \[  y=\text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}, \quad -\infty <x<+\infty ,  \quad 1\le y<+\infty \]

Гиперболический косинус является четной функцией

    \[\text{ch}\left( -x \right)=\text{ch}\,x\]

График функции убывает на промежутке \left( -\infty ;\ 0 \right) и возрастает на промежутке \left( 0;\ +\infty  \right). Точка M\left( 0;\ 1 \right) – точка минимума. График гиперболического косинуса изображен на рисунке 1.

Рис. 1

Гиперболический косинус связан с тригонометрическим косинусом, следующим образом:

    \[\text{ch}x=\cos \left( ix \right);  \quad \text{ch}\left( ix \right)=\cos x\]

Гиперболический синус и косинус связаны следующими соотношениями

    \[\text{sh}x+\text{ch}x={{e}^{x}};  \quad c{{h}^{2}}x-s{{h}^{2}}x=1\]

Формула для гиперболического косинуса суммы и разности аргумента

    \[\text{ch}\left( x\pm y \right)=\text{ch}x\cdot \text{ch}y\pm \text{sh}x\cdot \text{sh}y\]

Для гиперболического косинуса двойного угла справедливы формулы:

    \[\text{ch}2x=c{{h}^{2}}x+s{{h}^{2}}x,  \quad \text{ch}2x=2c{{h}^{2}}x-1,  \quad \text{ch}2x=1+2s{{h}^{2}}x\]

Формула произведения гиперболических косинусов

    \[\text{ch}x\cdot \text{ch}y=\frac{\text{ch}\left( x+y \right)+\text{ch}\left( x-y \right)}{2}\]

Формулы суммы и разности гиперболических косинусов

    \[\text{ch}x+\text{ch}y=2\text{ch}\frac{x+y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x-y}{2};\]

    \[\text{ch}x-\text{ch}y=2\text{sh}\frac{x-y}{2}\cdot \text{sh}\frac{x+y}{2}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить значение \text{ch}1
Решение По определению гиперболический косинус равен:

    \[\text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}\]

При x=1 получим

    \[\text{ch}1=\frac{{{e}^{1}}+{{e}^{-1}}}{2}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \text{ch}1=\frac{1}{2}\left( e+\frac{1}{e} \right),\]

подставим в последнее равенство значение экспоненты e\approx 2,72:

    \[\text{ch}1\approx \frac{1}{2}\left( 2,72+\frac{1}{2,72} \right)\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \text{ch}1\approx \frac{1}{2}\left( 2,72+0,37 \right)\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \text{ch}1\approx 1,545\]

Ответ \text{ch}1\approx 1,545
ПРИМЕР 2
Задание Доказать тождество

    \[ \text{ch}x+\text{ch}y=2\text{ch}\frac{x+y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x-y}{2} \]

Доказательство По определению \text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}. Тогда распишем правую часть доказываемого равенства, получим:

Возвращаясь к косинусу гиперболическому, окончательно будем иметь

    \[2\text{ch}\frac{x+y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x-y}{2}=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}+\frac{{{e}^{y}}+{{e}^{-y}}}{2}=\text{ch}x+\text{ch}y\]

Что и требовалось доказать.