Гиперболический косинус

Определение и формулы гиперболического косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Гиперболическим косинусом называется функция

$y=\text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}, \quad -\infty <x<+\infty , \quad 1\le y<+\infty$

Гиперболический косинус является четной функцией

$\text{ch}\left( -x \right)=\text{ch}\,x$

График функции убывает на промежутке $\left( -\infty ;\ 0 \right)$ и возрастает на промежутке $\left( 0;\ +\infty \right).$ Точка $M\left( 0;\ 1 \right)$ – точка минимума. График гиперболического косинуса изображен на рисунке 1.

Рис. 1

Гиперболический косинус связан с тригонометрическим косинусом, следующим образом:

$\text{ch}x=\cos \left( ix \right); \quad \text{ch}\left( ix \right)=\cos x$

Гиперболический синус и косинус связаны следующими соотношениями

$\text{sh}x+\text{ch}x={{e}^{x}}; \quad c{{h}^{2}}x-s{{h}^{2}}x=1$

Формула для гиперболического косинуса суммы и разности аргумента

$\text{ch}\left( x\pm y \right)=\text{ch}x\cdot \text{ch}y\pm \text{sh}x\cdot \text{sh}y$

Для гиперболического косинуса двойного угла справедливы формулы:

$\text{ch}2x=c{{h}^{2}}x+s{{h}^{2}}x, \quad \text{ch}2x=2c{{h}^{2}}x-1, \quad \text{ch}2x=1+2s{{h}^{2}}x$

Формула произведения гиперболических косинусов

$\text{ch}x\cdot \text{ch}y=\frac{\text{ch}\left( x+y \right)+\text{ch}\left( x-y \right)}{2}$

Формулы суммы и разности гиперболических косинусов

$\text{ch}x+\text{ch}y=2\text{ch}\frac{x+y}{2}\cdot \text{ch}\frac{x-y}{2};$

$\text{ch}x-\text{ch}y=2\text{sh}\frac{x-y}{2}\cdot \text{sh}\frac{x+y}{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить значение $\text{ch}1$

Решение

По определению гиперболический косинус равен:

$\text{ch}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}$

При $x=1$ получим

$\text{ch}1=\frac{{{e}^{1}}+{{e}^{-1}}}{2}\ \quad \Rightarrow \ \quad \text{ch}1=\frac{1}{2}\left( e+\frac{1}{e} \right),$

подставим в последнее равенство значение экспоненты $e\approx 2,72$ :

$\text{ch}1\approx \frac{1}{2}\left( 2,72+\frac{1}{2,72} \right)\ \quad \Rightarrow \ \quad \text{ch}1\approx \frac{1}{2}\left( 2,72+0,37 \right)\ \quad \Rightarrow \ \quad \text{ch}1\approx 1,545$