Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

    \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент G — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

    \[G=6,7\cdot {10}^{-11}\ {H\cdot m^2}/{{kg}^2\ }\]

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сила тяжести – это сила, действующая на тело со стороны Земли и сообщающая ему ускорение свободного падения \overline{g}:

    \[{\overline{F}}_g=m\overline{g}\ \]

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает свободное падение. Вид траектории движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. Камень, брошенный в горизонтальном направлении, через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

    \[mg=G\frac{mM}{r^2}\]

откуда ускорение свободного падения:

    \[g=G\frac{M}{r^2}\]

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе g=9,78 м/с ^{2} , на Северном полюсе экваторе g=9,832 м/с ^{2} .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой M и радиусом r.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)
Задание Радиус Земли R=6400 км, ускорение свободного падения на поверхности планеты g=9,8 м/с ^{2} . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.
Решение Ускорение свободного падения у поверхности Земли:

    \[g=G\frac{M}{R^2}\]

откуда масса Земли:

    \[M=\frac{gR^2}{G}\]

В системе Си радиус Земли R=6,4\cdot {10}^6 м.

Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:

    \[M=\frac{9,8\cdot {\left(6,4\cdot {10}^6\right)}^2}{6,7\cdot {10}^{-11}}=6\cdot {10}^{24}\ kg\]

Ответ Масса Земли 6\cdot {10}^{24} кг.
ПРИМЕР 2
Задание Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?
Решение По второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется:

    \[F=ma\ \]

Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна:

    \[F=G\frac{mM}{r^2}\]

где m и M- массы спутника и Земли соответственно.

Так как спутник находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли:

    \[r=R+h\]

где R-радиус Земли.

Таким образом, сила гравитационного притяжения в данном случае:

    \[F=G\frac{mM}{{\left(R+h\right)}^2}\]

Подставив значение гравитационной силы в формулу для второго закона Ньютона и учитывая, что ускорение спутника – это центростремительное ускорение (спутник движется по круговой орбите), получим:

    \[G\frac{mM}{{\left(R+h\right)}^2}=m\cdot \frac{v^2}{R+h}\]

или

    \[G\frac{M}{R+h}=v^2\]

откуда скорость спутника:

    \[v=\sqrt{G\frac{M}{R+h}\ }\]

    \[v=\sqrt{\frac{6,7\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{6,4\cdot {10}^6+{10}^6}}=7,4\cdot {10}^3\ {m}/{c}=7,4\ {km}/{c}\]

Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, — это период его обращения по круговой орбите, который равен:

    \[T=\frac{2\pi \left(R+h\right)}{v}\]

    \[T=\frac{2\pi \cdot \left(6,4\cdot {10}^6+{10}^6\right)}{7,4\cdot {10}^3}=6283\ c=1,8\ h\]

Ответ Спутник движется со скоростью 7,4 км/с; один полный оборот вокруг Земли спутник совершит за 1,8 ч.