Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения Лагранжа

Уравнения Лагранжа получают на основе принципа наименьшего действия. Функция действия S- среди физических величин занимает центральное место. По определению, действие от момента времени x_0 до момента x'_0 равно:

    \[S=\int^{x'_0}_{x_0}{L\left(x_{\alpha}\right)dx_0\qquad (1)}\]

где L\left(x_{\alpha}\right)— функция Лагранжа. Для нерелятивистской частицы в статическом потенциальном поле L=T-U, где T – кинетическая энергия, U – потенциальная. Центральная роль действия в физике обусловлена существованием принципа наименьшего действия (принцип Гамильтона). На основе принципа наименьшего действия из S и L получают уравнения движения (уравнения Лагранжа). Построение теории сводится к нахождению фундаментального лагранжиана, описывающего физический мир, и к решению вытекающих из него уравнений. (Лагранжиан – плотность функции Лагранжа: l\left(x_{\alpha}\right)=\frac{\partial L}{\partial V}.\ x_{\alpha} – координаты мировой точки.

Дифференциальные уравнениям Лагранжа первого рода

Уравнения вида:

    \[m\frac{d^2x}{dt^2}=F_x+\lambda \frac{\partial f}{\partial x};\ m\frac{d^2y}{dt^2}=F_y+\lambda \frac{\partial f}{\partial y};\ m\frac{d^2z}{dt^2}=F_z+\lambda \frac{\partial f}{\partial z}\qquad (2)\ \]

называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения – уравнения поверхности:

    \[f\left(x,y,z\right)=0\ \qquad (3)\]

можно найти четыре неизвестных – координаты точки x,y,z и неопределённый множитель Лагранжа \lambda как функций времени и произвольных постоянных интегрирования. Постоянные определяются из начальных условий. По найденному \lambda , легко определить силу реакции поверхности (N=\lambda \triangle f). Используя приведенные выше уравнения Лагранжа для одной материальной точки можно обобщить их для голономной системы состоящей из п материальных точек, на которую наложено k связей вида:

    \[f_i\left(x_1,y_1,z_1;\dots ;x_n,y_n,z_n;\ t\right)=0\ \left(i=1,2,3,\dots ,k\right) \qquad (4)\]

    \[m_{\nu}\frac{d^2x_{\nu}}{dt^2}=F_{\nu x}+\sum^k_{i=1}{{\lambda}_i\frac{\partial f_i}{\partial x_{\nu}}};\ m_{\nu}\frac{d^2y_{\nu}}{dt^2}=F_{\nu y}+\sum^k_{i=1}{{\lambda}_i\frac{\partial f_i}{\partial y_{\nu}}};\ m_{\nu}\frac{d^2z_{\nu}}{dt^2}=F_{нiz}+\sum^k_{i=1}{{\lambda}_i\frac{\partial f_i}{\partial z_{\nu}}};\ \left(\nu =1,2,3,\dots ,n\right)\qquad (5);\]

где m_{\nu}массы точек системы; x_{\nu},y_{\nu},z_{\nu} – координаты этих точек; F_{\nu x},F_{\nu y},F_{\nu z} – проекции приложенных к каждой точке активных сил; {\lambda}_i – неопределенные множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; t- время. Уравнения (5) совместно с (4) дают систему 3n+k дифференциальных уравнений. Из них находят 3n неизвестных функций x_{\nu}(t),y_  {\nu}(t),z_{\nu}(t), дающих закон движения точек системы, и k множителей \lambda (t), позволяющих определить проекции реакций.

Для нахождения закона движения уравнениями Лагранжа первого рода пользуются редко, так как интегрирование системы 3n+k уравнений, когда n велико весьма затруднительно. Однако, если закон движения найден каким – либо другим путем, то по уравнениям Лагранжа первого рода в которых известны левые части, можно определять реакции связей.

Уравнения Лагранжа второго рода

Если движение голономной системы описывается обобщенными координатами q_1,\ q_2,\dots ,q_s и обобщенными скоростями \dot{q_1},\ \dot{q_2},\dots ,\ \dot{q_s}, то уравнения движения имеют вид:

    \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i\ (i=1,2,\dots ,s) \qquad (6)\]

где T – кинетическая энергия системы, а Q_i— обобщенная сила.

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения (6) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Если движение происходит в потенциальном поле, то уравнения Лагранжа можно записать в виде:

    \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}=-\frac{\partial U}{\partial q_i}\]

    \[\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\left(T-U\right)-\frac{\partial}{\partial q_i}\left(T-U\right)=0\]

    \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0 \qquad (7)\]

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Они описывают движение механической системы, подчиненной идеальным связям. Уравнения Лагранжа второго рода можно использовать при изучении движения любой механической системы с геометрическими связями, независимо от того, сколько точек или тел входят в систему, как движутся тела и какое движение рассматривается.

Применение уравнений Лагранжа

В случае применения уравнений Лагранжа второго рода при решении задач динамики применяется четкая последовательность действий. Следует:

  1. определить число степеней свободы материальной системы;
  2. выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты; (Количество координат должно быть равно, числу степеней свободы);
  3. вычислить обобщенные силы Q_i, последовательно задавая элементарные положительные приращения соответствующих координат;
  4. вычислить кинетическую энергию системы (T) как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей;
  5. найти частные производные кинетической энергии системы по обобщенным скоростям (\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}), вычислить производные по времени от них (\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\right));
  6. определить частные производные кинетической энергии системы по обобщенным координатам (\frac{\partial T}{\partial q_i});
  7. результаты, полученные в пунктах 3,5,6 объединить в уравнении Лагранжа второго рода;
  8. далее действовать в зависимости от условий задачи. При необходимости проинтегрировать полученные уравнения, используя начальные условия движения;
  9. провести анализ полученного решения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Материальная точка массой m движется по внутренней поверхности сферы радиуса R вблизи устойчивого положения равновесия. В начальный момент времени t=0, x=x_0,\ y=0,\ v_x=0,\ v_y=v_0. Ось Oz направлена по вертикали вниз, а Ox и Oy расположены в горизонтальной плоскости. Начало координат находится в центре сферы. Определить траекторию движения точки.
Примеры решений уравнения Лагранжа

рис. 1

Решение Запишем уравнения Лагранжа первого рода для материальной точки, движущейся по поверхности сферы. Они будут иметь вид:

    \[m\frac{d^2x}{dt^2}=\lambda \frac{\partial f}{\partial x};\ m\frac{d^2y}{dt^2}=F_y+\lambda \frac{\partial f}{\partial y};\ m\frac{d^2z} {dt^2}=mg+\lambda \frac{\partial f}{\partial z}\qquad (1.1)\]

где \lambda =\frac{N}{\triangle f}.

К дифференциальным уравнениям необходимо добавить уравнение связи, а именно уравнение поверхности сферы:

    \[f\left(x,y,z,\right)=R^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=0\qquad (1.2)\]

Тогда:

    \[\frac{\partial f}{\partial x}=-2x,\ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y,\ \frac{\partial f}{\partial z}=-2z;\ \]

    \[\triangle f=\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}^2}=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2R,\ \]

Так как

    \[\sqrt{x^2+y^2+z^2}=R\]

Поставим в уравнение (1.1) значение производных \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}, имеем:

    \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-2\lambda x;\ m\frac{d^2y}{dt^2}=-2\lambda y;\ m\frac{d^2z}{dt^2}=-mg-2\lambda z\qquad (1.3)\]

Проинтегрируем систему (1.3.) приближенно. Для получения первого приближения сохраним в уравнении только первые степени величин x/R, y/R и пренебрежем их квадратами в выражении для z:

    \[z=\sqrt{R^2-y^2-x^2}\qquad (1.4)\]

Разложим выражение (1.4) по формуле для бинома, получим:

    \[z=R\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R^2}}=R{\left(1-\frac{x^2+y^2}{R^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\approx R\left(1-\frac{x^2+y^2}{2R^2}\right)\approx R \qquad (1.5)\]

Полагая в третьем уравнении системы (1.3.) z=R и \ddot{z}=0, имеем:

    \[mg-2\lambda R=0,\ \lambda =\frac{mg}{2R}\]

то есть N=\lambda \triangle f=mg

Подставим значение \lambda в первые два уравнения системы (1.3), получим:

    \[\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{R}x;\ \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{g}{R}y;\ \]

или \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{g}{R}x=0;\ \frac{d^2y}{dt^2}+\frac{g}{R}y=0

Решения этих уравнение представляют в виде:

    \[x=C_1 \sin \left(\sqrt{g/R}t+C_2\right);\ y=C_3 \sin \left(\sqrt{g/R}t+C_4\right)\qquad (1.6)\]

Продифференцируем x и y по времени, получим:

    \[\dot{x}=C_1\sqrt{g/R} \cos \left(\sqrt{g/R}t+C_2\right);\ \dot{y}=C_3\sqrt{g/R} \cos \left(\sqrt{g/R}t+C_4\right)\qquad (1.7)\]

Используем начальные условия, подставим их в (1.6), (1.7), получим:

    \[x_0=C_1 \sin C_2;\ 0=C_3 \sin C_4;\ 0=C_1\sqrt{g/R} \cos C_2;\ v_0=C_3\sqrt{g/R}{ \cos C}_4\qquad (1.8)\]

Из второго и третьего уравнения системы (1.8) находим C_4=0;\ C_2=\frac{\pi}{2}.

Подставляя эти значения в первое и четвертое уравнения, имеем

    \[x_0=C_1;\ C_3=v_0\sqrt{\frac{R}{g}}\]

Искомые уравнения примут вид:

    \[x=x_0 \sin \left(\sqrt{g/R}t\right);\ y=v_0\sqrt{\frac{R}{g}} \cos \left(\sqrt{g/R}t\right);\ z=R.\qquad (1.9)\]

Если из полученных уравнений исключить параметр t, то получим уравнение траектории материальной точки в координатной форме:

    \[ \frac{x^2}{x^2_0}+g\frac{y^2}{(Rv^2_0)}=1;\ z=R (1.10) \]

Ответ Доказано, что траектория движения точки – эллипс (в принятом приближении), расположенный в плоскости z=R с центром на оси Oz.
ПРИМЕР 2
Задание Составьте уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массой m, подвешенной на нити, длина которой меняется по закону l=l(t) .

Пример 1, уравнения Лагранжа

рис. 2

Решение По условию мы имеем математический маятник, длина нити которого, изменяется в зависимости от времени. Число степеней свободы системы равно двум. ( Маятник совершает движение в плоскости и его положение модно описать двумя координатами). Соответственно, можно записать законы изменения координат в виде:

    \[x=l \sin \varphi ;\ y=l \cos \varphi ,\ l=l(t)\qquad (2.1)\]

Продифференцируем (2.1), тогда получим проекции скоростей на оси:

    \[\dot{x}=\dot{l} \sin \varphi +l\dot{\varphi} \cos \varphi ,\ \dot{y}=\dot{l} \cos \varphi -l\dot{\varphi} \sin \varphi ;\ v=\sqrt{{\dot {x}}^2+{\dot{y}}^2}\qquad (2.2)\]

Запишем выражение для кинетической энергии, используя выражения (2.2) :

    \[T=\frac{mv^2}{2}=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)=\frac{m}{2}(l^2+{\dot{l}}^2{\dot{\varphi}^2})\qquad (2.3)\]

Пусть обобщенная координата \varphi. Нужной найти обобщенную силу: Q_{\varphi}. Используем то, что:

    \[\partial A=Q_{\varphi}.\delta \varphi =-mgl \sin \varphi \cdot \delta \varphi \qquad (2.4)\]

Следовательно, Q_{\varphi}=-mgl \sin \varphi \qquad (2.5.)

Запишем уравнение Лагранжа второго рода:

    \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=Q_{\varphi}\ \]

Найдем \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} используя (2.3) :

    \[\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=ml^2\dot{\varphi}\qquad (2.5)\]

    \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}\right)=m(2l\dot{l}\dot{\varphi}+l^2\ddot{\varphi})\qquad (2.6)\]

    \[\frac{\partial T}{\partial \varphi}=0\qquad (2.7)\]

Подставим (2.6), (2.7) в уравнение Лагранжа, получим:

    \[m\left(2l\dot{l}\dot{\varphi}+l^2\ddot{\varphi}\right)=-mgl \sin \varphi\]

    \[l\ddot{\varphi}+2\dot{l}\dot{\varphi}+g \sin \varphi =0\]

Таким образом, уравнение движения найдено.

Ответ Уравнение движения маятника при заданных условиях имеет вид:

    \[l\ddot{\varphi}+2\dot{l}\dot{\varphi}+g \sin \varphi =0\]

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.