Уравнения (правила) Кирхгофа
Расчет сложных (разветвленных) сетей постоянного тока заключается в отыскании по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенных к ним ЭДС сил токов в каждом участке. Для решения этой группы задач применяют правила (иногда в литературе их называют законами, что не корректно) Кирхгофа.
Сформулируем правила (уравнения) Кирхгофа. Но прежде, определим, что узлом в разветвленной цепи называют точку (на рисунке это точка А), в которой имеется более двух возможных направлений тока (рис. 1). В узле сходится более двух проводников.
рис. 1
Первое правило (уравнение) Кирхгофа
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов сходящихся в узле, равна нулю:
где n- количество проводников, сходящихся в узле. Надо отметить, что положительными считают токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от него. Если рассмотреть рис. 1, то , а остальные токи отрицательные.
Второе правило (уравнение) Кирхгофа
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме приложенных в нем ЭДС :
При использовании второго правила Кирхгофа выбирают определенное направление обхода контура. Токи , совпадающие по направлению с направлением обхода, считают положительными. ЭДС источников тока считают положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура.
Таким образом, порядок расчёта цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа следующий:
- произвольным образом выбираем направления токов во всех участках цепи;
- для m узлов цепи записываем m-1 независимых уравнений правила узлов;
- выделяем произвольные замкнутые контуры так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры. В разветвленной цепи, состоящей из p ветвей (участков цепи между соседними узлами) и m узлов, число независимых уравнений правила контуров равно p-m+1.
Примеры решения задач
Задание | Для измерения токов I, превышающих максимальный ток , на который рассчитан амперметр, имеющий сопротивление , параллельно ему включают добавочное сопротивление , называемое шунтом (рис. 2). Рассчитайте сопротивление шунта.
рис. 2 |
Решение | Расчет шунта проводится по правилам Кирхгофа:
Используем первое правило (1), получим уравнение: (1.1.), где — сила тока в шунте. Используем второе правило Кирхгофа (2),примем за положительное направление обхода контура движение по часовой стрелке, получим уравнение: ( 1.2), т.к. источников ЭДС в контуре нет. Из (1.2) выразим сопротивление шунта, подставим ток шунта из выражения (1.1) :
|
Ответ | Шунт должен иметь сопротивление |
Задание |
В электрической схеме, приведенной на рис. 3, заданы сопротивления и ЭДС: . Требуется определить сопротивление , при условии, что ток в цепи гальванометра G отсутствует (.
рис. 3 |
Решение | Выберем направления токов так, как показано на рисунке 3, тогда для узлов A,B,C первое правило Кирхгофа записывается в виде:
Замкнутые контуры ABCGA, ADCGA и BCDB обходим против часовой стрелки, получим:
Решаем эту систему уравнений и находим:
При результат не зависит от , и мы получаем схему мостика Уитстона для измерения сопротивлений:
Эта формула справедлива, если гальванометр и источник ЭДС в мостике Уитстона поменять местами. |
Ответ | Искомое сопротивление в заданной схеме можно найти в соответствии с формулой:
|