Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения (правила) Кирхгофа

Расчет сложных (разветвленных) сетей постоянного тока заключается в отыскании по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенных к ним ЭДС сил токов в каждом участке. Для решения этой группы задач применяют правила (иногда в литературе их называют законами, что не корректно) Кирхгофа.

Сформулируем правила (уравнения) Кирхгофа. Но прежде, определим, что узлом в разветвленной цепи называют точку (на рисунке это точка А), в которой имеется более двух возможных направлений тока {(I}_k) (рис. 1). В узле сходится более двух проводников.

Уравнение Кирхгофа

рис. 1

Первое правило (уравнение) Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов {(I}_k) сходящихся в узле, равна нулю:

    \[\sum^n_{k=1}{I_k}=0\qquad (1)\ \]

где n- количество проводников, сходящихся в узле. Надо отметить, что положительными считают токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от него. Если рассмотреть рис. 1, то I_1>0,\ I_4>0, а остальные токи отрицательные.

Второе правило (уравнение) Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов {(I}_k) на сопротивления {(R}_k) соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме приложенных в нем ЭДС {(\xi}_k):

    \[\sum^{n_1}_{k=1}{I_k}R_k=\sum^{n_1}_{k=1}{{\xi}_k\qquad (2)}\]

При использовании второго правила Кирхгофа выбирают определенное направление обхода контура. Токи {(I}_k), совпадающие по направлению с направлением обхода, считают положительными. ЭДС {(\xi}_k) источников тока считают положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура.

Таким образом, порядок расчёта цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа следующий:

  1. произвольным образом выбираем направления токов во всех участках цепи;
  2. для m узлов цепи записываем m-1 независимых уравнений правила узлов;
  3. выделяем произвольные замкнутые контуры так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры. В разветвленной цепи, состоящей из p ветвей (участков цепи между соседними узлами) и m узлов, число независимых уравнений правила контуров равно p-m+1.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Для измерения токов I, превышающих максимальный ток I_0, на который рассчитан амперметр, имеющий сопротивление R_0, параллельно ему включают добавочное сопротивление R_{sh}, называемое шунтом (рис. 2). Рассчитайте сопротивление шунта.
Пример решения уравнения Кирхгофа

рис. 2

Решение Расчет шунта проводится по правилам Кирхгофа:

Используем первое правило (1), получим уравнение:

I=I_0+I_{sh} (1.1.),

где I_{sh}— сила тока в шунте.

Используем второе правило Кирхгофа (2),примем за положительное направление обхода контура движение по часовой стрелке, получим уравнение:

I_0R_0=I_{sh}R_{sh}, ( 1.2), т.к. источников ЭДС в контуре нет.

Из (1.2) выразим сопротивление шунта, подставим ток шунта из выражения (1.1) :

    \[R_{sh}=\frac{I_0R_0}{I-I_0}\]

Ответ Шунт должен иметь сопротивление R_{sh}=I_0R_0/(I-I_0)
ПРИМЕР 2
Задание В электрической схеме, приведенной на рис. 3, заданы сопротивления R_2,\ R_3,\ R_4 и ЭДС: {\xi}_1,\ {\xi}_2. Требуется определить сопротивление R_1, при условии, что ток в цепи гальванометра G отсутствует (I_g=0).
Пример 2, уравнение Кирхгофа

рис. 3

Решение Выберем направления токов так, как показано на рисунке 3, тогда для узлов A,B,C первое правило Кирхгофа записывается в виде:

    \[I_2-I_1=0\]

    \[I_1+I_3=I\]

    \[I_4-I_5=0\]

Замкнутые контуры ABCGA, ADCGA и BCDB обходим против часовой стрелки, получим:

    \[{-I}_1R_1+I_3R_3={\xi}_1\]

    \[I_2R_2-I_4R_4=0\]

    \[I_3R_3+I_4R_4={\xi}_2\]

Решаем эту систему уравнений и находим:

    \[R_1=\frac{R_3R_2}{R_4}-\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_4}\cdot \frac{{\xi}_1}{{\xi}_1}\]

При {\xi}_1=0 результат не зависит от {\xi}, и мы получаем схему мостика Уитстона для измерения сопротивлений:

    \[ R_1=\frac{R_3R_2}{R_4} \]

Эта формула справедлива, если гальванометр и источник ЭДС {\xi}_2 в мостике Уитстона поменять местами.

Ответ Искомое сопротивление R_1 в заданной схеме можно найти в соответствии с формулой:

    \[ R_1=\frac{R_3R_2}{R_4}-\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_4}\cdot \frac{{\xi}_1}{{\xi}_1} \]

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.