Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение равновесия

Описание состояния тел

Представим, что в пространстве расположено материальное тело – к примеру, балка, рама или опора. Тело пребывает в состоянии равновесия, при этом находясь под воздействием внешних сил. Такой объект нельзя рассматривать как материальную точку, пренебрегая его размерами – поэтому нас интересует не только то, как направлены приложенные к нему силы, но и то, к каким точкам тела они приложены.

Уравнение равновесия

Чтобы описать статическое состояние такого тела, используют уравнения равновесия. В общем случае эта система имеет вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\overline{R}=0} \\ {\overline{M}=0} \end{array}\right\]

\overline{R} — это главный вектор всех сил, влияющих на тело. Чтобы его найти, нужно выбрать на теле произвольную точку О, приложить к ней векторы всех сил, влияющих на тело, а затем найти их векторную сумму: \overline{R}=\sum_{n}\overline{F}_{i} .

Уравнение равновесия

\overline{M} — это главный момент всех сил, влияющих на тело. Чтобы его найти, нужно сначала определить момент действия каждой силы относительно выбранной точки О (полюса): \overline{M_{i}}=\sum_{n}\overline{r}_{i} \times \overline{F}_{i} .\  \overline{r}_{i} – это радиус-вектор, проведенный к точке-полюсу из точки, к которой приложена соответствующая сила. Векторная сумма всех \overline{M_{i}} и даст нам главный момент: \overline{M}=\sum_{n}\overline{M}_{i} .

Чтобы решить уравнения равновесия, удобно спроектировать их на оси координат. Тогда для трехмерного пространства мы получим шесть скалярных уравнений:

    \[\sum_{k=1}^{n}F_{kx} =0;\ \sum_{k=1}^{n}F_{ky} =0;\ \sum_{k=1}^{n}F_{kz} =0\]

    \[\sum_{k=1}^{n}M_{x} (\overline{F}_{k} ) =0;\  \sum_{k=1}^{n}M_{y} (\overline{F}_{k} ) =0;\  \sum_{k=1}^{n}M_{z} (\overline{F}_{k} ) =0\]

Следует помнить, что на тело воздействуют не только активные силы, но и реакции связей – последние возникают в местах закрепления тела. Их тоже следует учитывать в уравнениях равновесия.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Определить главный вектор пяти сил в системе, показанной на рисунке. Модули сил соответственно 52 Н, 70 Н, 69 Н, 77 Н, 70 Н.
Пример 1, уравнение равновесия тел
Решение Так как силы \overline{P_1} и \overline{P_5} направлены под прямым углом друг к другу, удобно будет совместить с ними координатные оси.

Найдем проекции всех сил на горизонтальную ось Х:

    \[\begin{array}{l} {P_{x} =P_1 \cos 90^{\circ} +P_2 \cos 33^{\circ} +P_3 \cos 27^{\circ} -P_4 \cos 49^{\circ} 30'-P_5 =} \\ {=52 \cos 90^{\circ} +70 \cos 33^{\circ} +69 \cos 27^{\circ} -77 \cos 49^{\circ} 30'-70=0} \end{array}\]

Найдем проекции всех сил на вертикальную ось Х:

    \[\begin{array}{l} {P_{y} =P_1 +P_2 \sin 33^{\circ} -P_3 \sin 27^{\circ} -P_4 \sin 49^{\circ} 30'+P_5 \sin 0^{\circ} =} \\ {=52 +70 \sin 33^{\circ} -69 \sin 27^{\circ} -77 \sin 49^{\circ} 30'+77 \sin 0^{\circ} =0} \end{array}\]

Главный вектор всех сил \overline{R}=0 \ H – система находится в равновесии.

Ответ \overline{R}=0 \ H
ПРИМЕР 2
Задание Дана балка, к которой приложены усилия, как показано на рисунке. Р = 20 кН, G = кН, М = 4 кН•м, q = 2 кН/м, a = 2 м, b = 3 м, \alpha = 30^{\circ}. Нужно определить реакции опор в точках А и В.
Пример 2, уравнение равновесия тел
Решение Так как q – рассредоточенная сила, превратим ее в сосредоточенную, умножив на длину отрезка, на котором она действует: Q = a•q = 2•2 = 4 кН/м.

Введем силы реакции: \overline{R_{A}} заменяет подвижный шарнир, \overline{X_{B}},\; \overline{Y_{B}} заменят неподвижный шарнир. Схема системы принимает вид:

Пример 3, уравнение равновесия тел

В задаче рассматривается плоская система. Запишем для нее уравнения равновесия (в отличие от трёхмерного случая, здесь уравнений всего три):

    \[\sum_{k=1}^{n}F_{kx} =0; \sum_{k=1}^{n}F_{ky} =0;\ \sum_{k=1}^{n}M_{x} (\overline{F}_{k} ) =0\]

Пусть центр координат – точка А, центр моментов – точка В.

Распишем уравнение равновесия:

    \[\sum_{k=1}^{n}F_{kx} =0\to X_{B} -P \cos \alpha =0\]

    \[\sum_{k=1}^{n}F_{ky} =0\to R_{A} -Q+G-P \sin \alpha +Y_{B} =0\]

    \[\sum_{k=1}^{n}M_{x} (\overline{F}_{k} ) =0\to M+P \sin \alpha \cdot b-G(b+0,5a) +Q(a+b) -R_{A} (1,5a+b) =0\]

Найдём реакции опор:

    \[X_{B} =P \cos \alpha =20 \cos 30^{\circ} =17,32 \ kH\]

    \[R_{A} =\frac{M+P \sin \alpha \cdot b-G(b+0,5a) +Q(a+b)}{1,5a+b} =\]

    \[=\frac{4+20 \sin 30^{\circ} \cdot 3-10(3+0,5 \cdot 2) +4 (2+3)}{(1,5 \cdot 2+3)} =2,333\ kH\]

    \[Y_{B} =-R_{A} +Q -G+P \sin \alpha = -2,333+4-10+20 \sin 30^{\circ} =1,667 \ kH\]

    \[R_{B} =\sqrt{X^2_{B} +Y^2_{B}} =\sqrt{17,32^2 +1,667^2} =17,4 \ kH\]

Ответ 2,333 кН; 17,4 кН.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.