Уравнение равновесия
Описание состояния тел
Представим, что в пространстве расположено материальное тело – к примеру, балка, рама или опора. Тело пребывает в состоянии равновесия, при этом находясь под воздействием внешних сил. Такой объект нельзя рассматривать как материальную точку, пренебрегая его размерами – поэтому нас интересует не только то, как направлены приложенные к нему силы, но и то, к каким точкам тела они приложены.
Уравнение равновесия
Чтобы описать статическое состояние такого тела, используют уравнения равновесия. В общем случае эта система имеет вид:
— это главный вектор всех сил, влияющих на тело. Чтобы его найти, нужно выбрать на теле произвольную точку О, приложить к ней векторы всех сил, влияющих на тело, а затем найти их векторную сумму:
— это главный момент всех сил, влияющих на тело. Чтобы его найти, нужно сначала определить момент действия каждой силы относительно выбранной точки О (полюса): – это радиус-вектор, проведенный к точке-полюсу из точки, к которой приложена соответствующая сила. Векторная сумма всех и даст нам главный момент:
Чтобы решить уравнения равновесия, удобно спроектировать их на оси координат. Тогда для трехмерного пространства мы получим шесть скалярных уравнений:
Следует помнить, что на тело воздействуют не только активные силы, но и реакции связей – последние возникают в местах закрепления тела. Их тоже следует учитывать в уравнениях равновесия.
Примеры решения задач
Задание | Определить главный вектор пяти сил в системе, показанной на рисунке. Модули сил соответственно 52 Н, 70 Н, 69 Н, 77 Н, 70 Н.
|
Решение | Так как силы и направлены под прямым углом друг к другу, удобно будет совместить с ними координатные оси.
Найдем проекции всех сил на горизонтальную ось Х:
Найдем проекции всех сил на вертикальную ось Х:
Главный вектор всех сил – система находится в равновесии. |
Ответ |
Задание | Дана балка, к которой приложены усилия, как показано на рисунке. Р = 20 кН, G = кН, М = 4 кН•м, q = 2 кН/м, a = 2 м, b = 3 м, . Нужно определить реакции опор в точках А и В.
|
Решение | Так как q – рассредоточенная сила, превратим ее в сосредоточенную, умножив на длину отрезка, на котором она действует: Q = a•q = 2•2 = 4 кН/м.
Введем силы реакции: заменяет подвижный шарнир, заменят неподвижный шарнир. Схема системы принимает вид: В задаче рассматривается плоская система. Запишем для нее уравнения равновесия (в отличие от трёхмерного случая, здесь уравнений всего три):
Пусть центр координат – точка А, центр моментов – точка В. Распишем уравнение равновесия:
Найдём реакции опор:
|
Ответ | 2,333 кН; 17,4 кН. |