Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Пуассона

Определение и формула уравнения Пуассона

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Пуассона описывает адиабатный процесс, протекающий в идеальном газе. Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой: \delta Q =0 .

Уравнение Пуассона имеет вид:

    \[PV^{k} =const \]

Здесь V – объем, занимаемый газом, P – его давление, а величина k называется показателем адиабаты.

Уравнение Пуассона

Показатель адиабаты в уравнении Пуассона

Показатель адиабаты можно рассчитать, как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:

    \[k=\frac{C_{p}}{C_{V}} \]

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен \frac{5}{3}, для двухатомного – \frac{7}{5}, а для трёхатомного – \frac{4}{3}.

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет P_1. Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного P_A. После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до P_2. Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

    \[k=\frac{P_1 -P_{A}}{P_1 -P_2} \]

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики: \delta Q =\Delta U+A, где \Delta Uвнутренняя энергия системы, а А – выполняемая над ней работа. Поскольку \delta Q =0, то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

    \[A=\frac{nRT}{k-1} (1-(\frac{V_1}{V_2} )^{k-1} )\]

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Одноатомный идеальный газ адиабатически сжали так, что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа?
Решение Показатель адиабаты для одноатомного газа равен \frac{5}{3}. Однако его можно рассчитать и по формуле:

    \[k=\frac{C_{p}}{C_{V}} =\frac{R(i+2)/2}{Ri /2} =\frac{i+2}{i} \]

где R – универсальная газовая постоянная, а і – степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равен 3: это значит, что центр молекулы может совершать поступательные движения по трём координатным осям.

Пример 1, уравнение Пуассона

Поэтому показатель адиабаты:

    \[k=\frac{i+2}{i} =\frac{3+2}{3} =\frac{5}{3} \]

Представим состояния газа в начале и конце адиабатного процесса через уравнение Пуассона:

    \[P_1 V_1^{k} =P_2 V_2^{k} =const \]

    \[P_1 V_1^{k} =P_2 (2 \cdot V_1 )^{k} =const \]

    \[\frac{P_1}{P_2} =\left(\frac{2\cdot V_1}{V_1} \right)^{k} =2^{5/3} =3,175\]

Ответ Давление уменьшится в 3,175 раза.
ПРИМЕР 2
Задание 100 молей двухатомного идеального газа адиабатически сжали при температуре 300 К. При этом давление газа увеличилось в 3 раза. Как изменилась работа газа?
Решение Степень свободы двухатомной молекулы i=5 , так как молекула может двигаться поступательно по трём координатным осям, и вращаться вокруг двух осей.
Пример 2, уравнение Пуассона

Рассчитаем показатель адиабаты двухатомного газа:

    \[k=\frac{i+2}{i} =\frac{5+2}{5} =\frac{7}{5} \]

Определим, как изменился объем газа при адиабатном сжатии, из уравнения Пуассона:

    \[P_1 V_1^{k} =P_2 V_2^{k} =const \]

    \[P_1 V_1^{k} =(3\cdot P_1 )\cdot V_2^{k} =const \]

    \[\frac{V_1}{V_2} =\sqrt[{k}]{\frac{3\cdot P_1}{P_1}} =3^{1/k} =3^{5/7} =2,19\]

Значит, объем газа уменьшился в 2,19 раза.

Вычислим работу газа с помощью следующей формулы:

A=\frac{nRT}{k-1} (1-(\frac{V_1}{V_2} )^{k-1} )=\frac{100 \cdot 8,31\cdot 300}{\frac{7}{5} -1} (1-2,19^{(\frac{7}{5} -1)} )=853066 Дж.

Ответ A=853066 Дж