Уравнение Фурье
Формула и применение уравнения Фурье
Уравнение Фурье использует аппарат весьма абстрактной дисциплины – математической физики. На практике же оно применяется для изучения процессов теплопроводности разных тел. Это дифференциальное уравнение в частных производных позволяет узнать, насколько быстро изменяется температура тела, к которому подвели теплоту.
Однако до того как было получено уравнение Фурье, для него была построена математическая модель и выдвинута соответствующая гипотеза.
Мы рассматриваем стержень из однородного материала, для которого известна теплопроводность . Будем считать, что стержень тонкий – настолько, что температура во всех точках каждого поперечного сечения одинакова. Стержень теплоизолирован от внешней среды, и теплота подводится и распространяется только вдоль оси Ох – вдоль стержня.
Для этого случая существует гипотеза (или закон) Фурье, связывающий количество подведенной теплоты, изменение температуры стержня во времени, геометрические и физические характеристики стержня:
Физический смысл гипотезы более понятен, если некоторые множители из правой части перенести в левую:
Количество теплоты , подведенное к элементу поверхности за отрезок времени пропорционально градиенту температуры . Температурный градиент – это, по сути, изменение температуры на отрезке стержня . Используется обозначение n (нормаль), а не х, чтобы указать: температура распространяется перпендикулярно изотермическим поверхностям поперечного сечения. Коэффициент пропорциональности – это коэффициент теплопроводности стержня. Знак «минус» означает, что теплота передается в направлении снижения температуры.
С другой стороны, количество подведенной теплоты, подведенное к участку стержня длиной dx, чтобы его температура возросла на dt:
Здесь с – теплоемкость стержня, – плотность.
С использованием этой гипотезы и было получено уравнение Фурье:
Здесь переменная u – температура (обозначена буквой, традиционной в матфизике), t – время, – оператор Лапласа:
Если задача одномерная (а в случае со стержнем так оно и есть), уравнение Фурье примет вид:
Чтобы решить это уравнение, нужно задать граничные условия (температура на концах стержней в какой-то момент времени) и начальные условия (распределение температур по стержню в начальный момент времени).
Примеры решения задач
Задание | Задана бесконечно большая плоская стенка толщиной . Теплопроводность стенки . Температурное распределение в стенке не изменяется. Температуры на границах: . Найти закон изменения температуры по толщине стенки.
|
Решение | Так как теплота распространяется только вдоль одной оси, запишем уравнение Фурье:
Так как распределение температур в стенке уже установилось:
Интегрируем это выражение:
Используем граничные условия: .
Выразив постоянные интегрирования, получим закон изменения температуры:
|
Ответ |
Задание | Рассчитать закон изменения температуры в стекле и тепловые потери из помещения через стекло за 1 час, если температура внутри помещения , температура на улице , теплопроводность стекла Вт/(м•К), толщина стекла 8 мм, площадь остекления 20 м. |
Решение | Считаем, что распределение температур стационарно. Размеры стекла достаточно большие, чтобы игнорировать их конечность. Используем уравнение Фурье для одномерного случая:
Так как поле температур стационарно:
Дважды проинтегрировав, получим:
Подставим граничные условия: u (x = 0 м) = , u (x = 0,008 м) = .
Закон изменения температуры по толщине стекла:
Воспользуемся гипотезой Фурье, чтобы вычислить потери теплоты:
|
Ответ | Дж |