Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Фурье

Формула и применение уравнения Фурье

Уравнение Фурье использует аппарат весьма абстрактной дисциплины – математической физики. На практике же оно применяется для изучения процессов теплопроводности разных тел. Это дифференциальное уравнение в частных производных позволяет узнать, насколько быстро изменяется температура тела, к которому подвели теплоту.

Однако до того как было получено уравнение Фурье, для него была построена математическая модель и выдвинута соответствующая гипотеза.

Мы рассматриваем стержень из однородного материала, для которого известна теплопроводность \lambda. Будем считать, что стержень тонкий – настолько, что температура во всех точках каждого поперечного сечения одинакова. Стержень теплоизолирован от внешней среды, и теплота подводится и распространяется только вдоль оси Ох – вдоль стержня.

Уравнение Фурье

Для этого случая существует гипотеза (или закон) Фурье, связывающий количество подведенной теплоты, изменение температуры стержня во времени, геометрические и физические характеристики стержня:

    \[d^2 Q=-\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial n} \cdot dF \cdot d\tau \]

Физический смысл гипотезы более понятен, если некоторые множители из правой части перенести в левую:

    \[\frac{d^2 Q}{dF \cdot d\tau} =-\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial n} \]

Количество теплоты d^2 Q, подведенное к элементу поверхности dF за отрезок времени d\tau пропорционально градиенту температуры \frac{\partial t}{\partial n}. Температурный градиент – это, по сути, изменение температуры на отрезке стержня \partial n. Используется обозначение n (нормаль), а не х, чтобы указать: температура распространяется перпендикулярно изотермическим поверхностям поперечного сечения. Коэффициент пропорциональности \lambda – это коэффициент теплопроводности стержня. Знак «минус» означает, что теплота передается в направлении снижения температуры.

С другой стороны, количество подведенной теплоты, подведенное к участку стержня длиной dx, чтобы его температура возросла на dt:

    \[d^2 Q=c\rho \cdot dF \cdot dx \cdot dt \]

Здесь с – теплоемкость стержня, \rhoплотность.

С использованием этой гипотезы и было получено уравнение Фурье:

    \[\frac{\partial u}{\partial t} =a\Delta u\]

Здесь переменная u – температура (обозначена буквой, традиционной в матфизике), t – время, \Delta – оператор Лапласа:

    \[\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Если задача одномерная (а в случае со стержнем так оно и есть), уравнение Фурье примет вид:

    \[\frac{\partial u}{\partial t} =a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Чтобы решить это уравнение, нужно задать граничные условия (температура на концах стержней в какой-то момент времени) и начальные условия (распределение температур по стержню в начальный момент времени).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Задана бесконечно большая плоская стенка толщиной \delta. Теплопроводность стенки \lambda. Температурное распределение в стенке не изменяется. Температуры на границах: t_1,\ t_2. Найти закон изменения температуры по толщине стенки.
Пример 1, уравнение Фурье
Решение Так как теплота распространяется только вдоль одной оси, запишем уравнение Фурье:

    \[\frac{\partial u}{\partial t} =a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Так как распределение температур в стенке уже установилось:

    \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0\]

Интегрируем это выражение:

    \[\frac{\partial u}{\partial x} =C_1 \]

    \[u=C_1 x+C_2 \]

Используем граничные условия: u (x = 0) = t_1,\ u (x = \delta ) = t_2.

    \[\left\{\begin{array}{l} {t_1 =C_1 \cdot 0+C_2} \\ {t_2 =C_1 \cdot \delta +C_2} \end{array}\right\]

Выразив постоянные интегрирования, получим закон изменения температуры:

    \[u= \frac{t_2 -t_1}{\delta} x+t_1 \]

Ответ u= \frac{t_2 -t_1}{\delta} x+t_1
ПРИМЕР 2
Задание Рассчитать закон изменения температуры в стекле и тепловые потери из помещения через стекло за 1 час, если температура внутри помещения 20^{\circ}\ C, температура на улице -5^{\circ}\ C, теплопроводность стекла \lambda  = 0,8 Вт/(м•К), толщина стекла 8 мм, площадь остекления 20 м ^{2}.
Решение Считаем, что распределение температур стационарно. Размеры стекла достаточно большие, чтобы игнорировать их конечность. Используем уравнение Фурье для одномерного случая:

    \[\frac{\partial u}{\partial t} =a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Так как поле температур стационарно:

    \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0\]

Дважды проинтегрировав, получим:

    \[u=C_1 x+C_2 \]

Подставим граничные условия: u (x = 0 м) = 20^{\circ}\ C, u (x = 0,008 м) = -5^{\circ}\ C.

    \[\left\{\begin{array}{l} {20=C_1 \cdot 0+C_2} \\ {-5=C_1 \cdot 0,008+C_2} \end{array}\right\]

Закон изменения температуры по толщине стекла:

    \[u= -3125x+20\]

Воспользуемся гипотезой Фурье, чтобы вычислить потери теплоты:

    \[d^2 Q=-\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial n} \cdot dF \cdot d\tau \]

    \[Q=\lambda \cdot \frac{\Delta t}{\delta} \cdot F\cdot \tau =0,8 \cdot \frac{25}{0,008} \cdot 20\cdot 3600=225\cdot 10^6\ J\]

Ответ u= -3125x+20,\ Q = 225\cdot 10^6 Дж
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.