Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Шредингера

Принципы квантовой механики

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

    \[W\left(x.y.z\right),\ V(p_x,p_y,p_z)\]

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к. состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных (х и p_x.), а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов. Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном: \Psi (x.y.z,t), либо в импульсном: Y(p_x,p_y.p_z.t.). Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т.к. импульс свободной частицы сохраняется. Это означает на квантовом языке, что функция Y(p_x,p_y.p_z.).не зависит от времени.

Уравнение Шредингера

Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости. И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени. Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

    \[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta \Psi+U(x,y,z,t) \Psi  \qquad (1)\]

где \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2} – оператор Лапласа, x.y.z. – координаты, \hbar — постоянная Планка, деленная на 2\pi.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если U\left(x,y,z,\right) не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

    \[ \Psi \left(x,y,z;t\right)=exp\left(-\frac{i}{\hbar }Et\right) \Psi \left(x,y,z\right) \quad \qquad \qquad (2)  \]

где E-полная энергия квантовой системы, а \Psi \left(x,y,z\right) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

    \[-\frac{{\hbar }^2}{2m}\Delta  \Psi +U(x,y,z) \Psi =E \Psi  \quad \qquad \qquad (3)   \]

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера

С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл. Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы. Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера \Psi \left(x,y,z;t\right) прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения \left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\cdot  \Psi ^*\left(x,y,z;t\right)\right|={\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2=w ,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где \Psi ^*\left(x,y,z;t\right)-комплексно сопряженная функция с \Psi \left(x,y,z;t\right).

    \[W=\int_V{wdV}=\int_V{{\left| \Psi \left(x,y,z;t\right)\right|}^2dV} \]

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Рассмотрите движение электрона в одном измерении (по оси х) между двумя потенциальными барьерами. Допустим, что высота барьеров на концах ямы бесконечна. Электрон, как и в атоме, совершает финитное движение. Как оно описывается в квантовой механике? Как ведет себя импульс и энергия частицы?
Решение Сделаем рисунок
Пример 1, Уравнение Шредингера

В нашей задаче функция U(x) имеет особый, разрывный вид: она равна нулю между стенками, а на краях ямы (на стенках) обращается в бесконечность:

При x = 0 и x = l\ U = \infty, а при 0<x<1\ U=0.

Будем считать импульс электрона по модулю определённым, и постоянным, но каждый раз изменяющим знак пpи отражении от стенки. Энергия электрона связана с импульсом формулой:

    \[E=\frac{p^2}{2m_0}\qquad \qquad (1.1)\]

Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц в точках расположенных между стенками:

    \[\frac{{\hbar }^2}{2m_0}\cdot  \Psi ''+E \Psi =0\qquad \qquad (1.2)  \]

или, если учесть формулу (1.1)

    \[ \Psi ''+\frac{p^2}{{\hbar }^2} \Psi =0\qquad \qquad (1.3)  \]

К уравнению (1.3) необходимо добавить граничные условия на стенках ямы. Примем во внимание, что волновая функция связана с вероятностью нахождения частиц. Кроме того, по условиям задачи за пределами стенок частица не может быть обнаружена. Тогда волновая функция на стенках и за их пределами должна обращаться в нуль, и граничные условия задачи принимают простой вид:

    \[1)\ x\le 0,\  \Psi =0; \]

    \[2)\ x\ge 1,\  \Psi =0 \]

Теперь приступим к решению уравнения (1.3) . В частности, можно учесть, что его решением являются волны де-Бройля. Но одна волна де-Бройля как решение, к нашей задаче явно не относится, так как она заведомо описывает свободную частицу, «бегущую» в одном направлении. У нас же частица бегает «туда-сюда» между стенками. В таком случае на основании принципа суперпозиции искомое решение можно попытаться представить в виде двух волн де-Бройля, бегущих друг другу навстречу с импульсами p и -p, то есть в виде:

    \[ \Psi =C_1\cdot {\exp \left(\frac{i}{\hbar }px\right)\ }+C_2\cdot {exp \left(-\frac{i}{\hbar }px\right)\ } \]

Постоянные C_1 и C_2 можно найти из одного из граничных условий и условия нормировки. Последнее говорит о том, что если сложить все вероятности, то есть найти вероятность обнаружения электрона между стенками вообще в (любом месте), то получится единица (вероятность достоверного события равна 1), т.е.:

    \[\int^l_0{{\left| \Psi (x)\right|}^2dx=1}\qquad \qquad (1.4) \]

Согласно первому граничному условию имеем:

    \[C_1+C_2=C;\ C_1=-C_2=C\]

Таким образом, получим решение нашей задачи:

    \[ \Psi =C\cdot \left({\exp \left(\frac{i}{\hbar }px\right)\ }-{exp \left(-\frac{i}{\hbar }px\right)\ }\right) \]

Как известно, {\exp \left(\frac{i}{\hbar }px\right)\ }-{exp \left(-\frac{i}{\hbar }px\right)=2{ \sin \frac{px}{\hbar }\ }\ } . Поэтому найденное решение можно переписать в виде:

    \[ \Psi =A{ \sin \frac{px}{\hbar }\ },\ A=2iC\qquad \qquad (1.5) \]

Постоянная А определяется из условия нормировки. Но здесь не она представляет особый интерес. Осталось неиспользованным второе граничное условие. Какой результат оно позволяет получить? Применительно к найденному решению (1.5) оно приводит к уравнению:

    \[ \sin \frac{pl}{\hbar }=0\]

Из него видим, что в нашей задаче импульс p может принимать не любые значения, а только значения

    \[p_n=\frac{\hbar }{l}\pi n,\ где\ n=\pm 1,\pm 2,\dots \qquad \qquad (1.6)\]

Кстати, n не может равняться нулю, так как волновая функция тогда бы всюду на промежутке (0…l) равнялась нулю! Это означает, что частица между стенками не может находиться в покое! Она обязательно должна двигаться. В аналогичных условиях находятся электроны проводимости в металле. Полученный вывод распространяется и на них: электроны в металле не могут быть неподвижными.

Наименьший возможный импульс движущегося электрона равен

    \[\frac{\hbar }{l}\pi =\frac{\hbar n}{2\pi }\frac{\pi }{l}=\frac{\hbar n}{2l}\]

Мы указали, что импульс электрона при отражении от стенок меняет знак. Поэтому на вопрос, каков импульс у электрона, когда он заперт между стенками, определённо ответить нельзя: то ли +p, то ли -p. Импульс неопределённый. Его степень неопределённости, очевидно, определяется так: p_x=p-(-p)=2p. Неопределённость же координаты \Delta x равна l; если попытаться «поймать» электрон, то он будет обнаружен в пределах между стенками, но где точно — неизвестно. Поскольку наименьшее значение p равно \frac{\hbar }{2l}, то получаем:

    \[\Delta x\cdot \Delta p_x=\hbar \]

Мы подтвердили соотношение Гейзенберга в условиях нашей задачи, то есть при условии существования наименьшего значения p. Если же иметь в виду произвольно-возможное значение импульса, то соотношение неопределённости получает следующий вид:

    \[\Delta x\cdot \Delta p_x\ge \hbar \]

Это означает, что исходный постулат Гейзенберга-Боpа о неопределённости \Delta x и \Delta p_x устанавливает лишь нижнюю границу неопределенностей, возможную при измерениях. Если в начале движения система была наделена минимальными неопределённостями, то с течением времени они могут расти.

Однако формула (1.6) указывает и на другой чрезвычайно интересный вывод: оказывается, импульс системы в квантовой механике не всегда в состоянии изменяться непрерывно (как это всегда имеет место в классической механике). Спектр импульса частицы в нашем примере дискретный, импульс частицы между стенками может изменяться только скачками (квантами). Величина скачка в рассмотренной задаче постоянна и равна \frac{\hbar }{2l}.

На рис. 2. наглядно изображён спектр возможных значений импульса частицы. Таким образом, дискретность изменения механических величин, совершенно чуждая классической механике, в квантовой механике вытекает из ее математического аппарата. На вопрос, почему импульс изменяется скачками, наглядного найти нельзя. Таковы законы квантовой механики; наш вывод вытекает из них логически — в этом все объяснение.

Пример 2, Уравнение Шредингера

Обратимся теперь к энергии частицы. Энергия связана с импульсом формулой (1). Если спектр импульса дискретный, то автоматически получается, что и спектр значений энергии частицы между стенками дискретный. И он находится элементарно. Если возможные значения p_n согласно формуле (1.6) подставить в формулу (1.1), получим:

    \[E_n=\frac{p^2_n}{2m_0}=\frac{1}{2m_0}\cdot {\left(\frac{\hbar }{2l}\right)}^2n^2\]

где n = 1, 2,…, и называется квантовым числом.

Таким образом, мы получили энергетические уровни.

Пример 3, Уравнение Шредингера

рис. 3.

Рис. 3 изображает расположение энергетических уровней, соответствующее условиям нашей задачи. Ясно, что для другой задачи расположение энергетических уровней будет иным. Если частица является заряженной (например, это электрон), то, находясь не на низшем энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно излучать свет (в виде фотона). При этом она перейдёт на более низкий энергетический уровень в соответствии с условием:

    \[E_n-E_M=h\cdot {\nu }_{nm}\]

Волновые функции для каждого стационарного состояния в нашей задаче представляют собой синусоиды, нулевые значения которых обязательно попадают на стенки. Две такие волновые функции для n = 1,2 изображены на рис. 1.

ПРИМЕР 2
Задание Квантовая частица заперта в потенциальной прямоугольной одномерной яме конечной глубины. Найти энергетический спектр частицы.
Пример 4, Уравнение Шредингера

рис. 4.

Решение Запишем уравнение Шредингера, применительно к задаче. Для этого используем Стационарную волновую функцию:

    \[ \Psi \left(x,t\right)=\varphi (x)e^{-\frac{t}{\hbar }}\qquad \qquad (2.1) \]

Функция \varphi (x) подчиняется уравнению стационарному уравнению Шредингера в нашем случае:

    \[\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{d^2\varphi }{dx^2}+\left(E-U(x)\right)\varphi =0\qquad \qquad (2.2)\]

U(x)потенциальная энергия частицы. В нашем случае она является ступенчатой (рис. 4.)

    \[\left\{ \begin{array}{l} -a\le x\le a:\ U=0\ \\  x>a,\ \ x<a:\ \ U=U_0 \end{array} \right. \qquad (2.3)\]

Это означает, что задачу надо решать для трех областей поочерёдно. Единство функции \varphi (x) достигается последующим «сшиванием» решений, которое заключается в следующем: на границе областей \varphi (x) должна быть непрерывной и гладкой. Например, для границы a=x эти условия выглядят так:

    \[{\varphi}_I(a)={\varphi}_{II}(a),\ {\left(\frac{{{\varphi}_I}}{dx}\right)}_a={\left(\frac{{\varphi}_{II}}{dx}\right)}_a\qquad \qquad (2.4)\]

Задача обладает симметрией, достаточно будет рассмотреть одну ее половину. Например найти \varphi (x) для x>0. Необходимо рассмотреть две области решения. Рассмотрим случаи когда частица заперта в яме. Это будет иметь место если энергия частицы будет меньше глубины потенциальной ямы. Математически это означает, что \varphi (x) в бесконечности равна 0 (вероятность обнаружения частицы вдали от ямы равна 0). Кроме того запишем условие нормировки, получим:

    \[{\varphi }_{II}\left(\infty \right)=0,\ 2\int^{\infty }_0{{\varphi }^2}(x)dx=1\qquad (2.5) \]

Рассмотрим область I. Для нее уравнение (2.2.) имеет вид:

    \[\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{d^2\varphi }{dx^2}+E\varphi =0\qquad (2.6.)\]

Перепишем его:

\frac{d^2\varphi }{dx^2}+w^2\varphi =0, где w=\frac{2mE}{{\hbar }^2}\qquad \qquad (2.7)

Полученное уравнение есть аналог уравнения гармонических колебаний. Сразу запишем его

    \[\varphi =A \sin (wx+{\propto }_0)\qquad \qquad (2.8)\]

Рассмотрим область II. Для нее уравнение (2.2) имеет вид:

    \[\frac{{\hbar }^2}{2m}\frac{d^2\varphi }{dx^2}-\left(U_0-E\right)\varphi =0\qquad (2.9.)\]

Перепишем его следующим образом:

\frac{d^2\varphi }{dx^2}-{\gamma }^2\varphi =0, где {\gamma }^2=\frac{2m(U_0-E)}{{\hbar }^2} (2.10)

Будем искать решение в виде e^{\beta x}.

Подставим эту функцию в уравнение 2.10. Получим:

{\beta }^2e^{\beta x}-{\gamma }^2e^{\beta x}=0, отсюда {\beta }^2-\gamma^2=0. (2.11)

То есть функция e^{\beta x} действительно является решением уравнения в случае {\beta }^2={\gamma }^2.

Общее решение уравнения (2.10) получается:

    \[\varphi (x)=C_1e^{-\gamma x}+C_2e^{\gamma x}\qquad (2.12)\]

Используем условие для волновой функции на бесконечности. Второе слагаемое в уравнении 2.12. представляет собой функцию, растущую с ростом x. Значит, следует положить C_2=0.

Окончательно запишем для области II:

    \[ \varphi (x)=C_1e^{-\gamma x}\qquad (2.13)\]

Используем условия «сшивания». Перепишем их с учетом формул 2.8., 2.13.

    \[{\varphi}_I(a)={\varphi}_{II}(a),\ {\left(\frac{{{\varphi}_I}}{dx}\right)}_a={\left(\frac{{\varphi}_{II}}{dx}\right)}_a\]

    \[A \sin \left(wa+{\propto }_0\right)=C_1e^{-\gamma a},\ Aw \cos \left(wa+{\propto }_0\right)={-C}_1\ \gamma e^{-\gamma a}\qquad (2.14)\]

Целесообразно начало координат перенести в точку x=a, тогда условия (2.14) будут выглядеть проще при x=0:

    \[A \sin \left({\propto }_0\right)=C_1,\ Aw \cos \left({\propto }_0\right)={-C}_1\ \gamma \qquad (2.15)\]

отсюда следует, что \text{tg}\left({\propto }_0\right)=-\frac{w}{\gamma },\ C_1=A \sin \left({\propto }_0\right).

Постоянную A найдем из условий нормировки.

    \[A^2\int^{\circ}_{-a}{{ \sin }^2(wx)dx}+A^2 \sin {\propto }_0\int^{\infty }_0{e^{-2\gamma x}dx=\frac{1}{2}}\qqaud (2.16)\]

Вычислим интегралы:

    \[\frac{A^2}{w}(\frac{1}{2}aw-\frac{1}{4}{ \sin 2wa)+A^2\frac{{ \sin }^2{\propto }_0}{2\gamma }\ }=\frac{1}{2}\qquad (2.17)\]

Найдем A:

    \[A={(a-\frac{1}{2w} \sin 2wa+\frac{1}{\gamma }{ \sin }^2{\propto }_0)}^{-\frac{1}{2}}\qquad (2.18)\]

Если квантовая частица движется в замкнутой области, то ее энергетический спектр дискретный. А если спектр дискретен, то энергию частицы нельзя задать, не определив ее возможных значений.

Для того, чтобы найти спектр энергии используем то, что задача обладает симметрией. Это значит, что посередине потенциальной ямы плотность вероятности должна иметь экстремум. Соответственно, первая производная ее в точке x=-a равна 0. Используем это условие:

\left[\frac{d}{dx}(\varphi {\varphi }^*)\right]=\left[\frac{d}{dx}(A^2{ \sin }^2\left(wx+{\propto }_0\right))\right]=A^2w \sin \left(-2wa+{\propto }_0\right)=0 при x=-a\  (2.19)

отсюда \sin \left(-2wa+{\propto }_0\right)=0 (2.20)

или -2wa+{\propto }_0=\pi n (2.21)

где n- квантовое число, n=1,2,3…k

Тогда \text{arctg}\left(\frac{w}{\gamma }\right)+2wa=\pi n

Значения n нужно выбирать так, чтобы U_0>E>0.

Найдем не весь спектр энергии, а только часть ее, соответствующую условию \frac{w}{\gamma }\ll 1.

В этом случае тангенс угла совпадает с аргументом.

    \[\left(\frac{w}{\gamma }\right)+2wa=\pi n\  n=1,2,3...k\qquad (2.22)\]

подставим в 2.22 значения w,\ \gamma получим:

    \[\sqrt{\frac{E}{U_0-E}}+\sqrt{\frac{2ma^2}{{\hbar }^2}}E=\pi n\qquad (2.23)\]

Если \frac{w}{\gamma }\ll 1 то E\ll U_0-E, а это означает, что E\ll U_0. Мы ищем спектр вблизи дна энергетической ямы. Уравнение 2.23 относительно E упрощается:

    \[\sqrt{E}\left(\frac{1}{\sqrt{U_0}}+\sqrt{\frac{2ma^2}{{\hbar }^2}}\right)=\pi n \qquad (2.24)\]

Отсюда энергетический спектр при данном ограничении примет вид:

E_n=\frac{{\pi }^2n^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{U_0}}+\sqrt{\frac{2ma^2}{{\hbar }^2}}\right)}^2} при U_0=\infty \ ,\ E_n\frac{{\pi }^2n^2{\hbar }^2}{2ma^2} (2.25)

Минимальная энергия частицы определяется соотношением:

    \[E_1=\frac{{\pi }^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{U_0}}+\frac{a}{\hbar }\sqrt{2m}\right)}^2} (n=1) \qquad (2.26)\]

Наше соотношение выполняется при выполнении следующих условий:

    \[\frac{{\pi }^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{U_0}}+\frac{a}{\hbar }\sqrt{2m}\right)}^2}\ll U_0\ (E\ll U_0) \qquad (2.27)\]

откуда следует, что

\pi \ll 1+\frac{a}{\hbar }\sqrt{2mU_0\ } или \frac{a}{\hbar }\sqrt{2mU_0\ }\gg 1 (2.28)

Полученное условие обозначает, квадратный корень из значения E_1 для частицы, расположенной в бесконечно глубокой яме, должен быть значительно меньше квадратного корня из U_0.