Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Область значений функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Областью значений или областью изменения функции y=f\left(x\right) называется множество значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Обозначается область значения функции — E\left(f\right) или E\left(y\right).

Область значений основных элементарных функций

  1. Для линейной функции y=kx+b область значений E\left(y\right):y\in R.
  2. Для обратной пропорциональности, то есть функции заданной формулой y=\frac{k}{x} ,\ \left(k\ne 0\right), область значений: E\left(y\right):y\in \left(-\infty ,\; 0\right)\bigcup \left(0,\; +\infty \right).
  3. Значение y_{o} =y\left(x_{o} \right)=-\frac{D}{4a}, где D=b^{2} -4ac дискриминант, называется ординатой вершины параболы, задаваемой уравнением y=ax^{2} +bx+c \left(a\ne 0\right).

Действительно, абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле x_{0} =-\frac{b}{2a}, тогда

    \[y\left(x_{o} \right)=a\cdot \left(-\frac{b}{2a} \right)^{2} +b\cdot \left(-\frac{b}{2a} \right)+c=\frac{ab^{2} }{4a^{2} } -\frac{b^{2} }{2a} +c=\frac{b^{2} -2b^{2} +4ac}{4a} =-\frac{D}{4a} \]

Итак, для квадратичной функции y=ax^{2} +bx+c: если a<0, то ветки параболы направлены вниз и значение y_{o} является наибольшим значением функции, то есть E\left(y\right):y\in \left(-\infty ,\; y_{o} \right]; если a>0, то ветки направлены вверх и значение y_{o} является наименьшим значением функции, то есть E\left(y\right):y\in \left[y_{o} ,\; +\infty \right).

  1. Для логарифмической функции y=\log _{a} x область значений E\left(y\right):y\in R.
  2. Для показательной функции y=a^{x}  \left(a>0\right) область значений E\left(y\right):y\in \left(0,\; +\infty \right).
  3. Для тригонометрических функции y=\sin x;\ y=\cos x область значений E\left(y\right):y\in \left[-1,\; 1\, \right], для y=\text{tg} x;\ y=\text{ctg} x область значений — множество всех действительных чисел.
ЗАМЕЧАНИЕ
Нередко при исследовании тригонометрических функций помогает формула

    \[a\cdot \cos x+b\cdot \sin x=\sqrt{a^{2} +b^{2} } \cdot \cos \left(x-\alpha \right),\]

из которой следует, что областью значений функции y=a\cos x+b\sin x является промежуток E\left(y\right):y\in \left[-\sqrt{a^{2} +b^{2} } ,\; \sqrt{a^{2} +b^{2} } \, \right].

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти область значений квадратичных функций

    \[\ 1)\ y_{1} =-x^{2} +4x-3;\ 2)\ y_{2} =x^{2} +2x-5\]

Решение 1) Для функции y_{1} =-x^{2} +4x-3 имеем, что a=-1,\ b=4,\ c=-3. Графиком этой функции является парабола. Найдем абсциссу вершины параболы

    \[x_{2} =-\frac{b}{2a} =-\frac{4}{2\cdot \left(-1\right)} =2\]

Для нахождения y_{o} подставим найденное значение x_{o} в заданное квадратичное уравнение

    \[y_{o} =y_{1} \left(x_{o} \right)=y\left(2\right)=-2^{2} +4\cdot 2-3=-4+8-3=1\]

Так как a=-1<0, то ветви параболы направлены вниз и область значения E\left(y_{1} \right):y\in \left(-\infty ,\; 1\right].

2) Для функции y_{2} =x^{2} +2x-5:\ a=1,\ b=2,\ c=-5. Значение a=1>0, значит, ветки параболы направлены вверх, и значение y_{o} является наименьшим значением функции. Найдем это значение:

    \[y_{o} =-\frac{b^{2} -4ac}{4a} =-\frac{2^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-5\right)}{4\cdot 1} =-\frac{4+20}{4} =-6\]

Таким образом, E\left(y_{2} \right):y\in \left[-6,\; +\infty \right).

Ответ E\left(y_{1} \right):y\in \left(-\infty ,\; 1\right]; E\left(y_{2} \right):y\in \left[-6,\; +\infty \right)
ПРИМЕР 2
Задание Найти область значений тригонометрических функций

    \[\ 1)\ y_{1} =3\cos x-2;\ 2)\ y_{2} =\cos x\cdot \sin x;\ 3)\ y_{3} =3\cos x-4\sin x\]

Решение 1) Для определения области значений функции y_{1} =3\cos x-2 используем тот факт, что E\left(\cos x\right):y\in \left[-1,\; 1\, \right], то есть имеет место двойное неравенство

    \[-1\le \cos x\le 1\]

Умножим все части этого неравенства на 3:

    \[-3\le 3\cos x\le 3;\]

вычтем из всех частей полученного неравенства 2, получим

    \[-3-2\le 3\cos x-2\le 3-2\Rightarrow -5\le 3\cos x-2\le 1\]

Таким образом, E\left(y_{1} \right):y\in \left[-5,\; 1\right].

2) Для нахождения области значения функции y_{2} =\cos x\cdot \sin x, преобразуем правую часть выражения по формуле синуса двойного угла:

    \[2\cos x\cdot \sin x=\sin 2x\Rightarrow \cos x\cdot \sin x=\frac{\sin 2x}{2} \]

Получим

    \[y_{2} =\frac{1}{2} \sin 2x\]

Учитывая, что E\left(\sin 2x\right):y\in \left[-1,\; 1\, \right], получаем, что E\left(y_{2} \right)=E\left(\frac{1}{2} \sin 2x\right):y\in \left[-\frac{1}{2} ,\; \frac{1}{2} \, \right].

3) Для нахождения области значения функции y_{3} =3\cos x-4\sin x, воспользуемся формулой

    \[a\cdot \cos x+b\cdot \sin x=\sqrt{a^{2} +b^{2} } \cdot \cos \left(x-\alpha \right)\]

В нашем случае a=3;\ b=-4, то есть

    \[3\cos x-4\sin x=\sqrt{3^{2} +\left(-4\right)^{2} } \cdot \cos \left(x-\alpha \right)=\sqrt{9+16} \cdot \cos \left(x-\alpha \right)=5\cos \left(x-\alpha \right)\]

Следовательно, областью значений является промежуток E\left(y_{3} \right):y\in \left[-5,\; 5\, \right].

Ответ E\left(y_{1} \right):y\in \left[-5,\; 1\; \right]; E\left(y_{2} \right):y\in \left[-\frac{1}{2} ,\; \frac{1}{2} \, \right]; E\left(y_{3} \right):y\in \left[-5,\; 5\, \right]