Двойные неравенства и их решение

Определение и формулы двойных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Двойным неравенством называется неравенство вида $a\le f(x)\le b$ , где $f(x)$ — некоторая функция, $a,b$ — числа (знаки неравенства могут быть и строгие).

Чтобы решить двойное неравенство, записывают систему неравенств $\left\{\begin{array}{l} {f(x)\le b,} \\ {f(x)\ge a} \end{array}\right.$ . Далее решают каждое неравенство системы и находят их общее решение (пересекают).

Примеры решения двойных неравенств

ПРИМЕР 1

Задание

Найти решение неравенства $-3<2x-7<5$

Решение

Запишем равносильную систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l} {2x-7\ \langle\ 5,} \\ {2x-7\ \rangle\ -3} \end{array}\right.$

и эквивалентные ей системы

$\left\{\begin{array}{l} {2x\ \langle\ 12,} \\ {2x\ \rangle\ 4} \end{array}\right. \ \Rightarrow \; \; \left\{\begin{array}{l} {x\ \langle\ 6,} \\ {x\ \rangle\ 2.} \end{array}\right.$