Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение неравенств

Определение и формулы неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенством называется алгебраическое выражение, в котором функции связаны между собой знаками сравнения <, >, \le ,\; \ge.

Знаки <, > называются знаками строгого неравенства, а знаки \le ,\; \ge — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Решением неравенства называется значения переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

  1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
  3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство x^{2} +3x+4>0
Решение Рассмотрим квадратное уравнение x^{2} +3x+4=0 и найдем его дискриминант

    \[D=3^{2} -4\cdot 1\cdot 4=-7<0\]

Поскольку дискриминант отрицательный, то парабола y=x^{2} +3x+4 (рис. 1) лежит выше оси абсцисс и принимает только положительные значения, т.е. x^{2} +3x+4>0 при любых значения x\in (-\infty ;+\infty ).

Решение неравенств, пример
Ответ x\in (-\infty ;+\infty )
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство

    \[ \frac{x+3}{x-4} >0 \]

Решение Дробь будет положительной в том случае, когда числитель и знаменатель одного знака, т.е. возможны два случая \left\{\begin{array}{l} {x+3>0} \\ {x-4>0} \end{array}\right. или \left\{\begin{array}{l} {x+3<0} \\ {x-4<0} \end{array}\right.. Таким образом, необходимо найти решение совокупности

    \[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x+3>0,} \\ {x-4>0,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x+3<0,} \\ {x-4<0.} \end{array}\right. } \end{array}\right. \]

Решим каждую систему неравенств отдельно:

1. \left\{\begin{array}{l} {x+3>0} \\ {x-4>0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x>-3} \\ {x>4} \end{array}\right. \Rightarrow x\in (4;+\infty ).

2. \left\{\begin{array}{l} {x+3<0} \\ {x-4<0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x<-3} \\ {x<4} \end{array}\right.  \Rightarrow x\in (-\infty ;-3)

Объединим полученные решения и запишем решение исходного неравенства x\in (-\infty ;-3)\bigcup (4;+\infty ).

Ответ x\in (-\infty ;-3)\bigcup (4;+\infty )