Иррациональные неравенства и их решение

Определение и формулы иррациональных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство называется иррациональным, если в него входит функция под знаком корня.

Иррациональные неравенства в основном решаются возведением обеих частей неравенства в нужную степень. При возведении в степень важно учитывать некоторые особенности. Например, возводить в четную степень можно только те неравенства, у которых обе части неотрицательные.

Виды и примеры решения иррациональных неравенств

Рассмотрим несколько видов иррациональных неравенств.

1. Неравенство $\sqrt{f(x)} >g(x)$ . Подкоренная функция должна быть неотрицательной, а функция $g(x)$ может быть любой, поэтому заданное неравенство равносильно совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {g(x)\ge 0,} \\ {f(x)>g^{2} (x),} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {g(x)<0,} \\ {f(x)\ge 0.} \end{array}\right. } \end{array}\right.$

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство $\sqrt{x^{2} -8} >x+4$

Решение

Запишем совокупность неравенств

$\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x+4\ge 0,} \\ {x^{2} -8>(x+4)^{2} ,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x+4<0,} \\ {x^{2} -8\ge 0} \end{array}\right. } \end{array}\right.$

и решим каждую систему отдельно:

$\left\{\begin{array}{l} {x+4\ge 0,} \\ {x^{2} -8>(x+4)^{2} ,} \end{array}\right. \, \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ge -4,} \\ {8x+24<0,} \end{array}\right. \, \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ge -4,} \\ {x<-3,} \end{array}\right. \Rightarrow x\in [-4;-3)$

$\left\{\begin{array}{l} {x+4<0,} \\ {x^{2} -8\ge 0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x<-4,} \\ {(x-\sqrt{8} )(x+\sqrt{8} )\ge 0} \end{array}\right.$

Числовая ост при решении иррациональных неравенств

Решим второе неравенство системы методом интервалов, а также найдем пересечение с решением первого неравенства системы (рис. 1). Тогда $x\in (-\infty ;-4)$ .

Объединяем решения двух систем и получаем, что неравенство справедливо на промежутке $(-\infty ;3)$ .

Ответ

$x\in (-\infty ;3)$

2. Неравенство $\sqrt{f(x)} <g(x)$ . Подкоренная функция должна быть неотрицательна,левая часть неравенства также неотрицательна и меньше, чем правая, а значит $g(x)>0$ . Следовательно, заданное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств $\left\{\begin{array}{l} {f(x)\ge 0,} \\ {g(x)>0,} \\ {f(x)<g^{2} (x).} \end{array}\right.$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство $\sqrt{x+3} <x+1$

Решение

Для заданного неравенства запишем эквивалентную ему систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l} {x+3\ge 0,} \\ {x+1\ \rangle \ 0,} \\ {x+3\ \langle \ (x+1)^{2} } \end{array}\right. \; \Rightarrow \; \; \left\{\begin{array}{l} {x\ge -3,} \\ {x\ \rangle \ -1,} \\ {x^{2} +x-2\ \rangle \ 0} \end{array}\right. \; \; \Rightarrow \; \; \left\{\begin{array}{l} {x\ \rangle \ -1,} \\ {(x+2)(x-1)\ \rangle \ 0} \end{array}\right.$

Изобразим графически решение системы

Таким образом, решением данной системы будет промежуток $(1;+\infty )$

Ответ

$x\in (1;+\infty )$

3. Неравенство $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)}$ . Обе подкоренные функции должны быть неотрицательны, т.е. $f(x)>0,\; g(x)>0$ . Возведем в квадрат обе части неравенства и получим $f(x)\le g(x)$ . Таким образом, заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{l} {f(x)\ge 0,} \\ {g(x)\ge 0,} \\ {f(x)\le g(x).} \end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l} {f(x)\ge 0,} \\ {f(x)\le g(x).} \end{array}\right.$

ПРИМЕР 3

Задание

Решить неравенство $\sqrt{x^{2} -4x+4} \le \sqrt{x+10}$

Решение

Запишем систему, эквивалентную заданному неравенству

$\left\{\begin{array}{l} {x^{2} -4x+4\ge 0,} \\ {x^{2} -4x+4\le x+10} \end{array}\right. \ \Rightarrow \ \left\{\begin{array}{l} {(x-2)^{2} \ge 0,} \\ {x^{2} -5x-6\le 0} \end{array}\right. \ \Rightarrow \ \left\{\begin{array}{l} {(x-2)^{2} \ge 0,} \\ {(x+1)(x-6)\le 0} \end{array}\right.$

Первое неравенство системы справедливо для всех действительных значений $x$ , а второе решим методом интервалов

Метод интервалов для решения иррациональных неравенств

Таким образом, решение системы будет числовой промежуток $[-1;6]$ .

Ответ

$x\in [-1;6]$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Иррациональные неравенства и их решение

Определение и формулы иррациональных неравенств

Виды и примеры решения иррациональных неравенств