Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения неравенств с модулем

Схема решения простейших неравенств:

1) неравенство вида |x|<a при a>0 равносильно системе \begin{cases} x<a \\ x>-a \end{cases} ; при a \leq 0 неравенство решений не имеет.

2) неравенство |x|>a , при a>0 равносильно совокупности неравенств

    \[ \left[  \begin{gathered} x > a \hfill \\ x < -a \end{gathered} \right  \]

при a=0 решением неравенства является множество x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) ; a<0 – вся числовая ось, то есть x \in (-\infty; + \infty) .

При решении неравенства вида |f(x)| > |g(x)| или |f(x)| < |g(x)| , обе части неравенства возводят в квадрат. Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля, то применяется метод интервалов.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство |x+1|>1
Решение Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

    \[ \left[  \begin{gathered} x+1>1 \hfill \\  x+1<-1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x>0 \hfill \\  x<-2 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \in (0; + \infty) \hfill \\  x \in (-\infty; -2) \end{gathered} \right  \]

Объединяя эти интервалы, получим x \in (-\infty; -2) \cup (0; + \infty)

Ответ x \in (-\infty; -2) \cup (0; + \infty)
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство |2x-1|<9
Решение Исходное неравенство равносильно системе неравенств

    \[ \begin{cases} 2x-1<9 \hfill \\  2x-1>-9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x<10 \hfill \\  2x>-8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<5 \hfill \\  x>-4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 5)  \hfill \\  x \in (-4; + \infty) \end{cases} \]

Пересекая эти два интервала, получим решение x \in (-4; 5)

Ответ x \in (-4; 5)
ПРИМЕР 3
Задание Решить неравенство 1 \leq |x-2| \leq 5
Решение Заданное двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств:

    \[ \begin{cases} |x-2| \geq 1 \\ |x-2| \leq 5 \end{cases} \]

Первое неравенство равносильно совокупности неравенств

    \[ \left[  \begin{gathered} x-2 \geq 1 \hfill \\  x-2 \leq -1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \geq 3 \hfill \\  x \leq 1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \in [3; +\infty) \hfill \\  x \in (-\infty; 1] \end{gathered} \right  \Rightarrow x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \]

Второе неравенство равносильно системе неравенств:

    \[ \begin{cases} x-2 \leq 5 \hfill \\  x-2 \geq -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 7 \hfill \\  x \geq -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 7] \hfill \\  x \in [-3; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 7] \]

Тогда получим,

    \[ \begin{cases} |x-2| \geq 1 \\ |x-2| \leq 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \\ x \in [-3; 7] \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 1] \cup [3; 7] \]

Ответ x \in [-3; 1] \cup [3; 7]
ПРИМЕР 4
Задание Решить неравенство |x+1| \leq |x-2|
Решение Возведем обе части этого неравенства в квадрат

    \[    (x+1)^{2} \leq (x-2)^{2} \]

Распишем полученные квадрат суммы и квадрат разности по формулам сокращенного умножения:

    \[    x^{2}+2x+1 \leq x^{2}-4x+4 \]

Приводя подобные, получим:

    \[    6x \leq 3 \text{ } \Rightarrow \text{ } 2x \leq 1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \leq \frac{1}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in (-\infty ; 0,5] \]

Ответ x \in (-\infty ; 0,5]
ПРИМЕР 5
Задание Решить неравенство |x-1|+|x-2| \leq 3
Решение Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

    \[    x-1=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=1 \]

    \[    x-2=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \]

Эти значения разбивают числовую ось на три интервала: x \in (-\infty; 1] \text{ };\text{ } (1; 2] \text{ };\text{ } (2; +\infty] . Решим заданное неравенство на каждом из этих промежутков.

1) x \in (-\infty; 1] , при этом неравенство примет вид

    \[    -(x-1)-(x-2) \leq 3 \]

    \[    -x+1-x+2 \leq 3 \]

    \[    -2x \leq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \geq 0 \]

Пересекая найденное решение x \in [0; + \infty) с рассматриваемым интервалом x \in (-\infty; 1] , получаем решение x \in [0; 1] .

2) x \in (1; 2] , на этом интервале неравенство имеет вид:

    \[    x-1-(x-2) \leq 3 \]

    \[    x-1-x+2 \leq 3 \]

    \[    0 \cdot x \leq 2 \]

Таким образом, x может принимать любые значения на этом интервале то есть решением и будет сам интервал x \in (1; 2] .

3) x \in (2; +\infty] , тогда модули раскроются следующим образом:

    \[    x-1+x-2 \leq 3 \]

    \[    2x \leq 6 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \leq 3 \]

Пересекая это решение с рассматриваемым промежутком, получим, что x \in (2; 3] .

Для получения окончательного ответа объединим полученные решения:

    \[    x \in [0; 1] \cup (1; 2] \cup (2; 3] \text{ } \Rightarrow \text{ }  x \in [0; 3] \]

Ответ x \in [0; 3]