Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Система неравенств и ее решение

Определение и формулы систем неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если требуется найти общие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что нужно решить систему неравенств.

Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки.

Решением системы неравенств называется значения переменных, превращающие каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Все решения системы неравенств образуют множество решений системы неравенств. Если система решений не имеет, то говорят, что множеством ее решений является пустое множество: x\in \emptyset.

Чтобы решить систему неравенств нужно найти пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему, т.е. общие точки числовых промежутков.

Примеры решения систем неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решите систему неравенств

    \[ \left\{\begin{array}{l} {3x-1>-7,} \\ {3-4x>-9.} \end{array}\right \]

Решение Заданную систему можно преобразовать к виду

    \[\left\{\begin{array}{l} {3x>-6,} \\ {-4x>-12} \end{array}\right. \]

или

    \[\left\{\begin{array}{l} {x>-2,} \\ {x<3.} \end{array}\right. \]

Пример решения системы неравенств

С помощью координатной прямой найдем пересечение множеств решений неравенств данной системы, т.е. пересечение промежутков (-2;+\infty ) и (-\infty ;3) (рис. 1). Искомое пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих неравенству -2<x<3. Это множество является числовым промежутком (-2;3).

Ответ (-2;3)
ПРИМЕР 2
Задание Найти область определения функции

    \[ y=\sqrt{3x+3} -\frac{1}{\sqrt{15-5x} } \]

Решение Искомая область определения — это множество решений системы

    \[ \left\{\begin{array}{l} {3x+3\ge 0,} \\ {15-5x>0.} \end{array}\right \]

Преобразуем эту систему к виду \left\{\begin{array}{l} {x\ge -1,} \\ {x<3.} \end{array}\right. Решением первого неравенства является числовой промежуток [-1;+\infty ), а второго — (-\infty ;3). Пересечением этих промежутков является промежуток [-1;3) (рис. 2)

Область определения при решении системы неравенств
Ответ [-1;3)