Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Линейные неравенства и их решение

Определение и формулы линейных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенства вида ax>b, ax<b, ax\ge b, ax\le b, где x— переменная, a,b — некоторые числа, называются линейными неравенствами с одной переменной.

Решением линейного неравенства называют множество значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.

При решении линейных неравенств справедливы следующие правила:

  • если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  • если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
  • если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя данные правила, линейные неравенства приводятся к равносильным неравенствам x>c, x<c, x\ge c, x\le c и их решения записываются следующим образом:

Таблица для решения линейных неравенств

Примеры решения линейных неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство 2+4x>5+x
Решение Перенесем слагаемое x из правой части неравенства в левую, а слагаемое 2 — из левой в правую и приведем подобные члены:

    \[4x-x>5-2,\]

    \[3x>3\]

Разделим обе части неравенства на 3:

    \[x>1\]

Числовая ось при решении линейных неравенств

Множеством решений этого неравенства является числовой промежуток (1,+\infty ) (рис. 1). Точки координатной прямой, являющиеся решениями неравенства x>1, расположены справа от точки 1.

Ответ x\in (1,+\infty )
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство 2\cdot (2-3x)\ge 3\cdot (x-4)+5
Решение Раскроем скобки в правой и левой частях неравенства

    \[4-6x\ge 3x-12+5\]

и запишем цепочку равносильных неравенств

    \[-6x-3x\ge -7-4,\]

    \[\left. -9x\ge -11\right|:\left(-9\right),\]

    \[x\le \frac{11}{9} \]

Рисунок 2, решение линейных неравенств

Множеством решений последнего неравенства является числовой промежуток \left(-\infty ;\frac{11}{9} \right], а на координатной прямой точки, являющиеся решениями этого неравенства, расположены слева от точки \frac{11}{9} (рис. 2).

Ответ x\in \left(-\infty ;\frac{11}{9} \right]