Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

    \[|a|=\left\{\begin{array}{l} {a,\; a>0} \\ {0,\; a=0} \\ {-a,\; a<0} \end{array}\right. \]

Модуль числа a — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция f(x), то \left|f(x)\right|=\left\{\begin{array}{l} {f(x),\; f(x)>0} \\ {0,\; f(x)=0} \\ {-f(x),\; f(x)<0} \end{array}\right.

1. Неравенство вида |f(x)|<a равносильно системе неравенств \left\{\begin{array}{l} {f(x)>-a} \\ {f(x)<a} \end{array}\right., при условии a>0; при a\le 0 — решений нет.

2. Неравенство вида |f(x)|>a равносильно совокупности неравенств \left[\begin{array}{l} {f(x)>a} \\ {f(x)<-a} \end{array}\right., при условии, что a>0. Если a\le 0, то неравенство справедливо при всех допустимых значениях x.

3. Неравенство |f(x)|<g(x) равносильно двойному неравенству -g(x)<f(x)<g(x).

4. Неравенство |f(x)|>g(x) равносильно совокупности неравенств \left[\begin{array}{l} {f(x)>g(x)} \\ {f(x)<-g(x)} \end{array}\right.

5. Неравенство вида |f(x)|<|g(x)| выполняется тогда и только тогда, когда

    \[(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))<0\]

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство |x^{2} -3x|<4
Решение Рассмотрим два случая, когда выражение под модулем больше либо равно нулю и меньше нуля.

1 случай. Если x^{2} -3x\ge 0, то заданное неравенство эквивалентно системе \left\{\begin{array}{l} {x^{2} -3x\ge 0,} \\ {x^{2} -3x<4} \end{array}\right. или \left\{\begin{array}{l} {x(x-3)\ge 0,} \\ {(x-4)(x+1)<0.} \end{array}\right.

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получим

Метод интервалов для решения неравенств

т.е. x\in (-\infty ;0]\bigcup [3;+\infty ).

Второе неравенство также решим методом интервалов

Второе неравенство решим методом интервалов

и x\in (-1;4).

Поскольку мы решаем систему неравенств, то ее решением будет пересечение найденных решений, то есть (-1;0]\bigcup [3;4).

2 случай. Если x^{2} -3x<0, то заданное неравенство эквивалентно системе \left\{\begin{array}{l} {x^{2} -3x<0,} \\ {-(x^{2} -3x)<4} \end{array}\right. или \left\{\begin{array}{l} {x(x-3)\ \langle \ 0,} \\ {x^{2} -3x+4 \ \rangle \ 0} \end{array}\right.

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получим

Первое неравенство системы методом интервалов

т.е. x\in (0;3).

Второе неравенство будет справедливо для всех действительных значений x, поскольку уравнение x^{2} -3x+4=0 имеет отрицательный дискриминант D=9-16=-7<0.

Тогда решением системы будет интервал \left(0;\; 3\right).

Решением исходного неравенства будет объединение решений двух случаев, т.е (-1;0]\bigcup [3;4)\bigcup \left(0;\; 3\right)=(-1;4).

Ответ x\in (-1;4)
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство |x-3|-|x+5|<4
Решение Нулями подмодульных выражений являются значения 3 и -5, которые разбивают числовую ось на три интервала.
  1. Если x\in (-\infty ;-5], то заданное неравенство принимает вид:

        \[-(x-3)+(x+5)<4\Rightarrow 8<4\]

    В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть x\in \emptyset.

  2. Если x\in (-5;3], то

    -(x-3)-(x+5)<4 \Rightarrow \  -2x<6 \Rightarrow x>-3\Rightarrow x\in (-3;+\infty )

    Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток (-3;3].

  3. Если x\in (3;+\infty ), то

    x-3-x-5<4 \Rightarrow -8<4

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: x\in \left(-\infty ;\; +\infty \right). Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что x\in (3;+\infty ).

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

    \[(-3;3]\bigcup (3;+\infty )=(-3;+\infty )\]

Ответ x\in (-3;+\infty )