Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Показательные неравенства и их решение

Определение и формулы показательных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенство называется показательным, если его переменные входят в показатели степеней при постоянных основаниях.

При решении показательных неравенств используются те же методы, что и для показательных уравнений (приведение обоих частей неравенства к степени с одинаковыми основаниями либо введение новой переменной), а также правила решений простейших показательных неравенств вида a^{f(x)} >a^{g(x)} или a^{f(x)} \ge a^{g(x)}, где a>0,\; a\ne 1.

Решая такие неравенства, используют монотонность показательной функции, а именно:

  • Если a>1 и a^{f(x)} >a^{g(x)}, то f(x)>g(x).
  • Если 0<a<1 и a^{f(x)} >a^{g(x)}, то f(x)<g(x).

Примеры решения показательных неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство 5^{x-1} \ge 125
Решение Запишем правую и левую части неравенства в виде степени с основанием 5:

    \[5^{x-1} \ge 5^{3} \]

Поскольку 5>1, то заданное неравенство равносильно неравенству

    \[x-1\ge 3\Rightarrow x\ge 4\]

или x\in [4;+\infty )

Ответ x\in [4;+\infty )
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство 3\cdot 6^{2x} -2\cdot 6^{x} -1<0
Решение Введем замену 6^x = y,\; y>0, тогда 6^{2x} =\left(6^{x} \right)^{2} =y^{2}. Заданное неравенство принимает вид:

    \[3y^{2} -2y-1<0\]

Поскольку квадратичный трехчлен 3y^{2} -2y-1=0 имеет корни -\frac{1}{3} и 1, то множество решений соответствующего неравенства

    \[ \left\{\begin{array}{l} {y\ < \ 1,} \\ {y\ > \ -\frac{1}{3} .} \end{array}\right. $ \]

Учитывая условие y>0, получаем:

    \[\left\{\begin{array}{l} {y \ < \ 1,} \\ {y\ > \ 0.} \end{array}\right. \]

Делаем обратную замену:

    \[\left\{\begin{array}{l} {6^{x} \ < \ 1,} \\ {6^{x} \ > \ 0.} \end{array}\right. \]

Второе условие выполняется автоматически, поскольку 6^{x} >0 для любого x\in R. Неравенство 6^{x} <1 запишем в виде 6^{x} <6^{0}, откуда x<0 или x\in (-\infty ;0).

Ответ x\in (-\infty ;0)