Показательные неравенства и их решение

Определение и формулы показательных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство называется показательным, если его переменные входят в показатели степеней при постоянных основаниях.

При решении показательных неравенств используются те же методы, что и для показательных уравнений (приведение обоих частей неравенства к степени с одинаковыми основаниями либо введение новой переменной), а также правила решений простейших показательных неравенств вида $a^{f(x)} >a^{g(x)}$ или $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ , где $a>0,\; a\ne 1$ .

Решая такие неравенства, используют монотонность показательной функции, а именно:

Если $a>1$ и $a^{f(x)} >a^{g(x)}$ , то $f(x)>g(x)$ .
Если $0<a<1$ и $a^{f(x)} >a^{g(x)}$ , то $f(x)<g(x)$ .

Примеры решения показательных неравенств

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство $5^{x-1} \ge 125$

Решение

Запишем правую и левую части неравенства в виде степени с основанием 5:

$5^{x-1} \ge 5^{3}$

Поскольку $5>1$ , то заданное неравенство равносильно неравенству

$x-1\ge 3\Rightarrow x\ge 4$

или $x\in [4;+\infty )$

Ответ

$x\in [4;+\infty )$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство $3\cdot 6^{2x} -2\cdot 6^{x} -1<0$

Решение

Введем замену $6^x = y,\; y>0$ , тогда $6^{2x} =\left(6^{x} \right)^{2} =y^{2}$ . Заданное неравенство принимает вид:

$3y^{2} -2y-1<0$

Поскольку квадратичный трехчлен $3y^{2} -2y-1=0$ имеет корни $-\frac{1}{3}$ и 1, то множество решений соответствующего неравенства

$\left\{\begin{array}{l} {y\ < \ 1,} \\ {y\ > \ -\frac{1}{3} .} \end{array}\right. $$

Учитывая условие $y>0$ , получаем:

$\left\{\begin{array}{l} {y \ < \ 1,} \\ {y\ > \ 0.} \end{array}\right.$

Делаем обратную замену:

$\left\{\begin{array}{l} {6^{x} \ < \ 1,} \\ {6^{x} \ > \ 0.} \end{array}\right.$

Второе условие выполняется автоматически, поскольку $6^{x} >0$ для любого $x\in R$ . Неравенство $6^{x} <1$ запишем в виде $6^{x} <6^{0}$ , откуда $x<0$ или $x\in (-\infty ;0)$ .

Ответ

$x\in (-\infty ;0)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Показательные неравенства и их решение

Определение и формулы показательных неравенств

Примеры решения показательных неравенств