Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Квадратные неравенства и их решение

Определение и формулы квадратных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенства вида ax^{2} +bx+c>0,\ ax^{2} +bx+c<0,\ ax^{2} +bx+c\ge 0,\ ax^{2} +bx+c\le 0, где x — переменная, a\ne 0,\ b,\ c — некоторые числа, называют квадратными.

Чтобы решить квадратное неравенство, нужно знать количество корней соответствующего квадратного уравнения ax^{2} +bx+c=0. Сделать это можно с помощью дискриминанта: если дискриминант D=b^{2} -4ac>0, то уравнение имеет два корня, D=0 — один корень, D<0 — действительных корней нет.

Знак старшего коэффициента a определяет направление ветвей параболы y=ax^{2} +bx+c: если a>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0 — вниз. В зависимости от знаков D и a возможны такие варианты расположения параболы относительно оси абсцисс.

Квадратные неравенства

Решением неравенств ax^{2} +bx+c>0 (ax^{2} +bx+c\ge 0) будет числовой промежуток, на котором парабола лежит выше оси абсцисс.

Решением неравенств ax^{2} +bx+c<0 (ax^{2} +bx+c\le 0) будет числовой промежуток, на котором парабола лежит ниже оси абсцисс.

Если неравенство нестрогое, то концы промежутка включаются, если строгое, то не включаются.

Примеры решения квадратных неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство x^{2} -3x-4>0
Решение Для квадратного трехчлена x^{2} -3x-4 имеем: a=1>0 и D=25>0. Корни уравнения x^{2} -3x-4=0 будут x_{1} =-1, x_{2} =4.
Пример решения квадратных неравенств

Схематически график функции y=x^{2} -3x-4 изображен на рис. 1. Таким образом, решением неравенства x^{2} -3x-4>0 будет объединение промежутков (-\infty ;-1) и (4;\infty ).

Ответ (-\infty ;-1)\bigcup (4;\infty )
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство x^{2} +x+\frac{1}{4} \le 0
Решение Для данного неравенства a=1>0, D=0, а корень соответствующего уравнения x_{0} =-\frac{1}{2}. В этом случае квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Следовательно, данное неравенство имеет единственное решение x=-\frac{1}{2}.
Ответ x=-\frac{1}{2}