Квадратные неравенства и их решение

Определение и формулы квадратных неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенства вида $ax^{2} +bx+c>0,\ ax^{2} +bx+c<0,\ ax^{2} +bx+c\ge 0,\ ax^{2} +bx+c\le 0$ , где $x$ — переменная, $a\ne 0,\ b,\ c$ — некоторые числа, называют квадратными.

Чтобы решить квадратное неравенство, нужно знать количество корней соответствующего квадратного уравнения $ax^{2} +bx+c=0$ . Сделать это можно с помощью дискриминанта: если дискриминант $D=b^{2} -4ac>0$ , то уравнение имеет два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — действительных корней нет.

Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы $y=ax^{2} +bx+c$ : если $a>0$ , то ветви параболы направлены вверх, если $a<0$ — вниз. В зависимости от знаков $D$ и $a$ возможны такие варианты расположения параболы относительно оси абсцисс.

Решением неравенств $ax^{2} +bx+c>0$ ( $ax^{2} +bx+c\ge 0$ ) будет числовой промежуток, на котором парабола лежит выше оси абсцисс.

Решением неравенств $ax^{2} +bx+c<0$ ( $ax^{2} +bx+c\le 0$ ) будет числовой промежуток, на котором парабола лежит ниже оси абсцисс.

Если неравенство нестрогое, то концы промежутка включаются, если строгое, то не включаются.

Примеры решения квадратных неравенств

ПРИМЕР 1

Задание	Решить неравенство $x^{2} -3x-4>0$
Решение	Для квадратного трехчлена $x^{2} -3x-4$ имеем: $a=1>0$ и $D=25>0$ . Корни уравнения $x^{2} -3x-4=0$ будут $x_{1} =-1, x_{2} =4$ . Схематически график функции $y=x^{2} -3x-4$ изображен на рис. 1. Таким образом, решением неравенства $x^{2} -3x-4>0$ будет объединение промежутков $(-\infty ;-1)$ и $(4;\infty )$ .
Ответ	$(-\infty ;-1)\bigcup (4;\infty )$

ПРИМЕР 2

Задание	Решить неравенство $x^{2} +x+\frac{1}{4} \le 0$
Решение	Для данного неравенства $a=1>0, D=0$ , а корень соответствующего уравнения $x_{0} =-\frac{1}{2}$ . В этом случае квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Следовательно, данное неравенство имеет единственное решение $x=-\frac{1}{2}$ .
Ответ	$x=-\frac{1}{2}$