Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Метод интервалов решения неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Метод интервалов — это удобный и эффективный метод решения неравенств вида f(x)>0, где f(x) — рациональная функция (вместо знака «>» может стоять любой из знаков «<,\le ,\ge»)

Метод интервалов применяют при решении линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств.

Алгоритм метода интервалов

Метод интервалов решения неравенств основан на следующем алгоритме:

  1. Решаем уравнение f(x)=0 и находим нули функции (если f(x) — дробно-рациональная, то находим нули числителя и нули знаменателя).
  2. Отмечаем полученные значения на числовой оси нули. Нули знаменателя всегда выколотые точки, нули числителя выколотые, если неравенство строгое; закрашенные, если неравенство нестрогое.
  3. Полученные точки разбивают числовую ось на интервалы. В каждом интервале определяем знак функции f(x).
  4. Если при переходе через закрашенную точку знак не меняется, то эта точка (если она не находится внутри промежутка решения) является изолированной точкой-решением.

Примеры решения неравенств методом интервалов

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство (x-5)(x^{2} -4x+4)\ge 0
Решение Сначала решим уравнение (x-5)(x^{2} -4x+4)=0. Корнями этого уравнения будут точки x_{1} =5,\; x_{2} =x_{3} =2, а заданное неравенство можно записать в виде (x-5)(x-2)^{2} \ge 0. Отмечаем точки на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое, то точки закрашенные. Определяем знак левой части неравенства на каждом промежутке. Для этого выбираем какое-либо значение, принадлежащее рассматриваемому интервалу, и подставляем его в левую часть неравенства вместо x.
Пример решения неравенств методом интервалов

Чтобы записать ответ, выбираем промежуток со знаком «+», а также не забываем точку 2, которая включается в решение (соответствующая ей точка закрашена), т.е. искомое решение x\in [5,+\infty )\bigcup \{ 2\}.

Ответ x\in [5,+\infty )\bigcup \{ 2\}
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство

    \[ \frac{x^{2} -2x-8}{2x^{2} +3x+1} >0 \]

Решение Найдем нули числителя и знаменателя:

    \[x^{2} -2x-8=0\  \Rightarrow \  x_{1} =4,\; x_{2} =-2\]

и

    \[2x^{2} +3x+1=0\  \Rightarrow \  x_{3} =-1,\; x_{2} =-0,5\]

Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства на каждом из промежутков

Числовая ось в методе интервалов

Выбираем промежутки, на которых дробь положительна (то есть промежутки, помеченные знаком «+»), тогда x\in (-\infty ;-2)\bigcup (-1;-0,5)\bigcup (4,+\infty ).

Ответ x\in (-\infty ;-2)\bigcup (-1;-0,5)\bigcup (4,+\infty )