Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Неравенства с параметром и их решение

Определение и формулы неравенств с параметром

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенство вида

    \[f(x,a)>0\ (<,\le ,\ge )\]

где 0 — параметр, x — переменная называется неравенством с параметром.

Чтобы решить неравенство с параметром нужно для всех значений параметра найти множество решений неравенства.

Неравенства с параметром в основном решаются следующим образом:

  1. Находится область допустимых значений параметра.
  2. ОДЗ параметра разбивается на интервалы, на которых неравенство решается одним и тем же способом.
  3. Отдельно на каждом интервале находится решение неравенства, зависящее от параметра.
  4. Решение неравенства записывается в виде перечисления интервалов изменения параметра с указанием для каждого из них решения исходного неравенства.

Эффективным также является графический метод решения неравенств с параметром.

Примеры решения неравенств с параметром

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство x^{2} -4ax+4>0
Решение Рассмотрим квадратный трехчлен x^{2} -4ax+4=0 и найдем его дискриминант

    \[D=16(a^{2} -1)\]

В зависимости от знака дискриминанта функция y=x^{2} -4ax+4 пересекает ось абсцисс либо в двух точках, либо в одной (касается оси), либо не пересекает вообще.

1. D>0\; \  \Rightarrow \  \, a^{2} -1>0\  \Rightarrow \  a\in (-\infty ;-1)\bigcup (1;+\infty ). Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках x_{1} =2(a+\sqrt{a^{2} -1} ) и x_{2} =2(a-\sqrt{a^{2} -1} ).

Множество решений исходного неравенства состоит из тех x, при которых график параболы проходит выше оси абсцисс, т.е. x>2(a+\sqrt{a^{2} -1} ) и x_{2} <2(a-\sqrt{a^{2} -1} ), то есть

    \[x\in \left(-\infty ;2(a-\sqrt{a^{2} -1} )\right)\bigcup \left(2(a+\sqrt{a^{2} -1} );+\infty \right)\]

2. D=0\; \  \Rightarrow \  \, a^{2} -1=0\  \Rightarrow \  a=\pm 1. Если a=1, то парабола касается оси абсцисс в точке x=2; если a=-1, то парабола касается оси абсцисс в точке x=-2.

3. D<0\; \  \Rightarrow \  \, a^{2} -1<0\  \Rightarrow \  a\in (-1;1). Парабола полностью лежит выше оси абсцисс, и любое значение x является решением неравенства.

Ответ Если a\in (-\infty ;-1)\bigcup (1;+\infty ), то x\in \left(-\infty ;2(a-\sqrt{a^{2} -1} )\right)\bigcup \left(2(a+\sqrt{a^{2} -1} );+\infty \right)

Если a\in (-1;1), то x\in R

ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство

    \[ \frac{x+2a}{x-3} <0 \]

Решение Рассмотрим функциюf(x)=\frac{x+2a}{x-3}. ОДЗ: x\ne 3, f(x)=0\; \Leftrightarrow \; x=-2a. Воспользуемся методом интервалов для решения заданного неравенства. Точки 3 и -2a разбивает ось на интервалы. Возможны три случая: -2a>3, -2a=3 и -2a<3.

1. Если -2a>3\  \Rightarrow \  a<-\frac{3}{2}, то x\in (3;-2a) (см. рис. 1)

Числовая ось

2. Если a=-\frac{3}{2}, то x\in (-\infty ;3)\bigcup (3;+\infty ) (рис. 2)

Числовая ось

3. Если -2a<3\  \Rightarrow \  a>-\frac{3}{2}, то x\in (-2a;3) (рис. 3)

Числовая ось
Ответ При a<-\frac{3}{2}  x\in (3;-2a), a=-\frac{3}{2}  x\in (-\infty ;3)\bigcup (3;+\infty ), при a>-\frac{3}{2}  x\in (-2a;3)