Неравенства с параметром и их решение

Определение и формулы неравенств с параметром

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство вида

$f(x,a)>0\ (<,\le ,\ge )$

где $0$ — параметр, $x$ — переменная называется неравенством с параметром.

Чтобы решить неравенство с параметром нужно для всех значений параметра найти множество решений неравенства.

Неравенства с параметром в основном решаются следующим образом:

Находится область допустимых значений параметра.
ОДЗ параметра разбивается на интервалы, на которых неравенство решается одним и тем же способом.
Отдельно на каждом интервале находится решение неравенства, зависящее от параметра.
Решение неравенства записывается в виде перечисления интервалов изменения параметра с указанием для каждого из них решения исходного неравенства.

Эффективным также является графический метод решения неравенств с параметром.

Примеры решения неравенств с параметром

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство $x^{2} -4ax+4>0$

Решение

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^{2} -4ax+4=0$ и найдем его дискриминант

$D=16(a^{2} -1)$

В зависимости от знака дискриминанта функция $y=x^{2} -4ax+4$ пересекает ось абсцисс либо в двух точках, либо в одной (касается оси), либо не пересекает вообще.

1. $D>0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1>0\ \Rightarrow \ a\in (-\infty ;-1)\bigcup (1;+\infty )$ . Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках $x_{1} =2(a+\sqrt{a^{2} -1} )$ и $x_{2} =2(a-\sqrt{a^{2} -1} )$ .

Множество решений исходного неравенства состоит из тех $x$ , при которых график параболы проходит выше оси абсцисс, т.е. $x>2(a+\sqrt{a^{2} -1} )$ и $x_{2} <2(a-\sqrt{a^{2} -1} )$ , то есть

$x\in \left(-\infty ;2(a-\sqrt{a^{2} -1} )\right)\bigcup \left(2(a+\sqrt{a^{2} -1} );+\infty \right)$

2. $D=0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1=0\ \Rightarrow \ a=\pm 1$ . Если $a=1$ , то парабола касается оси абсцисс в точке $x=2$ ; если $a=-1$ , то парабола касается оси абсцисс в точке $x=-2$ .

3. $D<0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1<0\ \Rightarrow \ a\in (-1;1)$ . Парабола полностью лежит выше оси абсцисс, и любое значение $x$ является решением неравенства.

Ответ

Если $a\in (-\infty ;-1)\bigcup (1;+\infty )$ , то $x\in \left(-\infty ;2(a-\sqrt{a^{2} -1} )\right)\bigcup \left(2(a+\sqrt{a^{2} -1} );+\infty \right)$

Если $a\in (-1;1)$ , то $x\in R$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

$\frac{x+2a}{x-3} <0$

Решение

Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x+2a}{x-3}$ . ОДЗ: $x\ne 3, f(x)=0\; \Leftrightarrow \; x=-2a$ . Воспользуемся методом интервалов для решения заданного неравенства. Точки $3$ и $-2a$ разбивает ось на интервалы. Возможны три случая: $-2a>3, -2a=3$ и $-2a<3$ .

1. Если $-2a>3\ \Rightarrow \ a<-\frac{3}{2}$ , то $x\in (3;-2a)$ (см. рис. 1)