Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Логарифмические неравенства и их решение

Определение и формулы логарифмических неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенство называется логарифмическим, если его переменные входят под знаки логарифмов.

Решение логарифмических неравенств базируется на свойствах логарифмической функции, определении и свойствах логарифма.

Для решения логарифмических неравенств используются те же методы, что и для решения логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические неравенства вида

\log _{a} x>b или \log _{a} x<b, a>0, a\ne 1

решают, используя монотонность и область определения логарифмической функции, а именно:

  • если a>1 и \log _{a} x>b, то искомое решение x>a^{b};
  • если a<1 и \log _{a} x>b, то 0<x<a^{b}.

Также поступают и с нестрогими неравенствами.

Примеры решения логарифмических неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство \log _{0,2} (x+1)>2
Решение Найдем область допустимых значений (ОДЗ) x:

    \[x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\in (-1;+\infty )\]

Поскольку основание логарифма 0,2<1, то получаем неравенство, равносильное данному:

    \[x+1<0,2^{2} \]

или

    \[x<-0,96\]

Учитывая ОДЗ, решением неравенства будет промежуток (-1;-\; 0,96).

Ответ (-1;\; -0,96)
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство \log _{6} (x+2)+\log _{6} (x+1)<1
Решение Найдем сначала ОДЗ x.

Система неравенств \left\{\begin{array}{l} {x+2>0,} \\ {x+1>0} \end{array}\right. имеет множество решений (-1;+\infty ).

На этом множестве заданное неравенство равносильно неравенству

\log _{6} \left[(x+2)(x+1)\right]<1 или (x+2)(x+1)<6^{1},

откуда x^{2} +3x-4<0.

Полученное квадратное неравенство решим методом интервалов.

    \[x^{2} +3x-4<0\  \Leftrightarrow \  (x+4)(x-1)<0\]

Решение логарифмических неравенств

Множеством решений является числовой промежуток (-4;\; 1), на котором левая часть последнего неравенства отрицательна (стоит знак «минус»). Учитывая ОДЗ, получаем решение заданного неравенства: x\in (-1;\; 1).

Ответ x\in (-1;\; 1)