Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Наибольшее и наименьшее значение функции

Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значения обычно решается для функции заданной и непрерывной на некотором отрезке.

ТЕОРЕМА
Если функция f\left(x\right) непрерывна на отрезке \left[a;\; b\right], то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее.

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f\left(x\right) на отрезке \left[a;\; b\right], необходимо:

  1. найти её значение на концах этого отрезка, то есть значения f\left(a\right) и f\left(b\right);
  2. найти её значение в стационарных точках функции, которые принадлежат отрезку \left[a;\; b\right];
  3. из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры нахождения наибольшего и наименьшего значения

ПРИМЕР 1
Задание Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=\frac{x}{4} +\frac{1}{x} на отрезке \left[1;\; 4\right]
Решение Найдем значение функции на концах заданного отрезка:

    \[y\left(1\right)=\frac{1}{4} +\frac{1}{1} =1\frac{1}{4} ;\ y\left(4\right)=\frac{4}{4} +\frac{1}{4} =1\frac{1}{4} \]

Далее определим критические точки функции. Для этого вычислим и приравняем к нулю производную заданной функции

    \[y'=\frac{1}{4} -\frac{1}{x^{2} } ;   \]

    \[\frac{1}{4} -\frac{1}{x^{2} } =0 \Leftrightarrow    \frac{x^{2} -4}{4x^{2} } =0   \Leftrightarrow    \left[\begin{array}{l} {x\ne 0;} \\ {x^{2} -4=0;} \end{array}\right.    \Leftrightarrow    \left[\begin{array}{l} {x\ne 0;} \\ {\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \]

    \[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x\ne 0;} \\ {x_{1} =-2;\quad x_{2} =2;} \end{array}\right. \]

Таким образом, x_{1} =-2;\ x_{2} =2 — стационарные точки заданной функции, из них только x_{2} =2 лежит на отрезке \left[1;\; 4\right]. Найдем значение функции в этой точке

    \[y\left(2\right)=\frac{2}{4} +\frac{1}{2} =1\]

Из трех значений y\left(1\right)=1\frac{1}{4} ;\ y\left(4\right)=1\frac{1}{4} ;\ y\left(2\right)=\frac{2}{4} +\frac{1}{2} =1 выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ y_{\mathop{\max }\limits_{\left[1;\; 4\right]} } =y\left(1\right)=y\left(4\right)=1\frac{1}{4} ;\ y_{\mathop{\min }\limits_{\left[1;\; 4\right]} } =y\left(2\right)=1
ПРИМЕР 2
Задание Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=\frac{x^{2} -x+1}{x^{2} +1} на отрезке \left[-2;\; 2\right]
Решение Функция y=\frac{x^{2} -x+1}{x^{2} +1} непрерывна на отрезке \left[-2;\; 2\right]. Найдем её производную, используя правило дифференцирования частного

    \[y'=\frac{\left(x^{2} -x+1\right)^{{'} } \left(x^{2} +1\right)-\left(x^{2} -x+1\right)\left(x^{2} +1\right)^{{'} } }{\left(x^{2} +1\right)^{2} }=\]

    \[=\frac{\left(2x-1\right)\left(x^{2} +1\right)-\left(x^{2} -x+1\right)\cdot 2x}{\left(x^{2} +1\right)^{2} } =\frac{x^{2} -1}{\left(x^{2} +1\right)^{2} } \]

Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение

    \[x^{2} -1=0   \Leftrightarrow    \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0   \Leftrightarrow    x_{1} =-1;   x_{2} =1 \]

Обе полученные точки принадлежат отрезку \left[-2;\; 2\right]. Найдем значение функции на концах заданного отрезка и в критических точках и выберем из полученных значений наименьшее и наибольшее:

    \[y\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^{2} -\left(-1\right)+1}{\left(-1\right)^{2} +1} =\frac{3}{2} ;\ y\left(1\right)=\frac{1^{2} -1+1}{1^{2} +1} =\frac{1}{2} ;\]

    \[y\left(-2\right)=\frac{\left(-2\right)^{2} -\left(-2\right)+1}{\left(-2\right)^{2} +1} =\frac{7}{5} ;\ y\left(2\right)=\frac{2^{2} -2+1}{2^{2} +1} =\frac{3}{5} \]

Значит, наименьшее значение функции на данном отрезке равно \frac{1}{2}; а наибольшее — числу \frac{3}{2}.

Ответ y_{\mathop{\max }\limits_{\left[-2;\; 2\right]} } =y\left(-1\right)=\frac{3}{2} ;\ y_{\mathop{\min }\limits_{\left[-2;\; 2\right]} } =y\left(1\right)=\frac{1}{2}