Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Полное исследование функции и построение ее графика

Схема как исследовать функцию и построить график

  1. найти область определения функции;
  2. найти точки пересечения графика с координатными осями;
  3. исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность;
  4. найти асимптоты функции;
  5. найти интервалы монотонности, точки локальных экстремумов и значения функции в этих точках;
  6. найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
  7. используя полученные результаты исследования построить график функции.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Исследовать функцию y=3x^{5} -5x^{3} и построить её график.
Решение 1) Функция определена на всей числовой оси, то есть D(y):\, x\in (-\infty ;+\infty ).

2) Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью OX:

    \[y=0 \Rightarrow  3x^{5} -5x^{3} =0 \Leftrightarrow  x^{3} \left(3x^{2} -5\right)=0 \Leftrightarrow  x_{1} =0;\ x_{2,3} =\pm \sqrt{\frac{5}{3} } \]

Пересечение с осью OY:\ x=0 \Rightarrow  y=0. Функция имеет три точки пересечения с осями: O\left(0;\; 0\right),\ \; A\left(\sqrt{\frac{5}{3} } ;\; 0\right),\ B\left(-\sqrt{\frac{5}{3} } ;\; 0\right).

3) Функция непериодическая.

Исследуем функции на четность:

    \[f\left(-x\right)=3\left(-x\right)^{5} -5\left(-x\right)^{3} =-3x^{5} +5x^{3} =-\left(3x^{5} -5x^{3} \right)=-f\left(x\right)\]

Функция нечетная, поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат.

4) Найдем асимптоты графика функции. Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты y=k\cdot x+b, где

    \[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{f\left(x\right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{3x^{5} -5x^{3} }{x} =3x^{4} -5x^{2} =+\infty \]

Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания, убывания. Для этого вычислим первую производную

    \[y'=3\cdot 5x^{4} -5\cdot 3x^{2} =15x^{4} -15x^{2} \]

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

    \[15x^{4} -15x^{2} =0 \Leftrightarrow  15x^{2} \left(x^{2} -1\right)=0 \Leftrightarrow  x_{1} =0;\ x_{2,3} =\pm 1\]

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной y' в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу:

x (-\infty;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;+\infty)
y’ + 0 0 0 +
y возрастает max убывает extr нет убывает min возрастает

    \[y_{\max } =y\left(-1\right)=3\cdot \left(-1\right)^{5} -5\cdot \left(-1\right)^{3} =-3+5=2;\]

    \[y_{\min } =y\left(1\right)=3\cdot 1^{5} -5\cdot 1^{3} =3-5=-2\]

Точка M\left(-1;\; 2\right) — точка максимума, точка N\left(1;\; -2\right) — точка минимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

    \[y''=15\cdot 4x^{3} -15\cdot 2x=60x^{3} -30x\]

Найдем критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

    \[60x^{3} -30x=0 \Leftrightarrow  30x\left(2x^{2} -1\right)=0 \Leftrightarrow  x_{1} =0;\ x_{2,3} =\pm \frac{1}{\sqrt{2} } \]

Найденные точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

x \left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{2} } \right) -\frac{1}{\sqrt{2} } \left(-\frac{1}{\sqrt{2} } ;0\right) 0 \left(0;\frac{1}{\sqrt{2} } \right) \frac{1}{\sqrt{2} } \left(\frac{1}{\sqrt{2} } ;+\infty \right)
y'' + 0 0 + 0
y \bigcup перегиб \bigcap перегиб \bigcup перегиб \bigcap

Значение функции в точках перегиба

    \[y\; \left(-\frac{1}{\sqrt{2} } \right)=3\left(-\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{5} -5\left(-\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{3} =-\frac{3}{4\sqrt{2} } +\frac{5}{2\sqrt{2} } =\frac{7}{4\sqrt{2} } ;\]

    \[y\; \left(0\right)=3\cdot 0^{5} -5\cdot 0^{3} =0;\]

    \[y\; \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)=3\left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{5} -5\left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{3} =\frac{3}{4\sqrt{2} } -\frac{5}{2\sqrt{2} } =-\frac{7}{4\sqrt{2} } \]

Точки перегиба: C\left(-\frac{1}{\sqrt{2} } ;\; \frac{7}{4\sqrt{2} } \right); O\left(0;\; 0\right); D\, \left(\frac{1}{\sqrt{2} } ;\; -\frac{7}{4\sqrt{2} } \right).

7) Используя полученные данные, строим график функции.

Строим график функции после исследования
ПРИМЕР 2
Задание Исследовать функцию y=\frac{x^{3} }{2\left(x+1\right)^{2} } и построить её график.
Решение 1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.

    \[2\left(x+1\right)^{2} \ne 0\Leftrightarrow x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1,\]

таким образом, область определения функции: D(y):\, x\in (-\infty ;-1)\bigcup (-1;+\infty )

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью OX:\ y=0 \Rightarrow  x=0;

с осью OY:\ x=0 \Rightarrow  y=0.

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку O\, \left(0;\; 0\right).

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

    \[f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{3} }{2\left(-x+1\right)^{2} } =-\frac{x^{3} }{2\left(x-1\right)^{2} } \]

Ни одно из равенств f\left(-x\right)=f\left(x\right) или f\left(-x\right)=-f\left(x\right) не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

4) Найдем асимптоты графика функции.

В точке x=-1 функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

    \[\mathop{\lim }\limits_{x\to -1-0} \frac{x^{3} }{2\left(x+1\right)^{2} } =-\infty;\ \mathop{\lim }\limits_{x\to -1-0} \frac{x^{3} }{2\left(x+1\right)^{2} } =-\infty\]

Таким образом, x=-1 — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты y=k\cdot x+b, где

    \[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{f\left(x\right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{x^{3} }{2\left(x+1\right)^{2} \cdot x} =\frac{1}{2} ;\]

    \[b=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \left(f\left(x\right)-kx\right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \left(\frac{x^{3} }{2\left(x+1\right)^{2} } -\frac{1}{2} \cdot x\right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \left(\frac{x^{3} -x\left(x^{2} +2x+1\right)}{2\left(x+1\right)^{2} } \right)=\]

    \[=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{x^{3} -x^{3} -2x^{2} -x}{2\left(x+1\right)^{2} } =\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{-2x^{2} -x}{2\left(x+1\right)^{2} } =-1\]

Получаем уравнение наклонной асимптоты y=\frac{x}{2} -1.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

    \[\; y'=\frac{1}{2} \cdot \frac{3x^{2} \left(x+1\right)^{2} -x^{3} \cdot 2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4} } =\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \left(x+1\right)\left(3\left(x+1\right)-2x\right)}{\left(x+1\right)^{4} } =\]

    \[=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \left(3x+3-2x\right)}{\left(x+1\right)^{3} } =\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \left(x+3\right)}{\left(x+1\right)^{3} } =\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} +3x^{2} }{\left(x+1\right)^{3} } \]

Найдем критические точки: y'=0 при

    \[x^{2} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(x+3\right)=0 \Rightarrow x_{1} =0;\ x_{2} =-3\]

y' не существует при \left(x+1\right)^{3} =0 \Rightarrow x=-1, но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной y' в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

x \left(-\infty ;-3\right) -3 \left(-3;-1\right) \left(-1;0\right) 0 \left(0;+\infty \right)
y' + 0 + 0 +
y возрастает mах убывает возрастает еxtr нет возрастает

    \[y_{\max } =y\left(-3\right)=\frac{\left(-3\right)^{3} }{2\cdot \left(-3+1\right)^{2} } =-\frac{27}{8} \]

То есть точка M\; \left(-3;\; -\frac{27}{8} \right) — точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

    \[y''=\, {\kern 1pt} \left(y'\right)^{{'} } =\frac{1}{2} \cdot \frac{\left(3x^{2} +6x\right)\cdot \left(x+1\right)^{3} -\left(x^{3} +3x^{2} \right)\cdot 3\cdot \left(x+1\right)^{2} }{\left(x+1\right)^{6} } =\]

    \[=\frac{1}{2} \cdot \frac{3x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^{3} -3x^{2} \left(x+3\right)\left(x+1\right)^{2} }{\left(x+1\right)^{6} } =\]

    \[=\frac{1}{2} \cdot \frac{3x\left(x+1\right)^{2} \left(\left(x+2\right)\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)\right)}{\left(x+1\right)^{6} } =\]

    \[=\frac{1}{2} \cdot \frac{3x\left(x^{2} +2x+x+2-x^{2} -3x\right)}{\left(x+1\right)^{4} } =\frac{1}{2} \cdot \frac{3x\cdot 2}{\left(x+1\right)^{4} } =\frac{3x}{\left(x+1\right)^{4} } \]

Найдем критические точки: y''=0 при x=0;\ y'' не существует при x=-1, но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

x \left(-\infty ;-1\right) \left(-1;0\right) 0 \left(0;+\infty \right)
y'' 0 +
y \bigcap \bigcap перегиб \bigcup

Значение функции в точке перегиба y\left(0\right)=0. Точка O\left(0;\; 0\right) — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.

Строим пунктиром асимптоты и жирным график функции