Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких, что x_{1} >\; x_{2} справедливо неравенство f\left(x_{1} \right)>\; f\left(x_{2} \right).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется убывающей в промежутке \left(a,\; b\right), если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких что x_{1} >\; x_{2} справедливо f\left(x_{1} \right)<\; f\left(x_{2} \right).

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция f\left(x\right) определена и дифференцируема в промежутке \left(a;\; b\right). Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), достаточно, чтобы f'\left(x\right)>0 для всех x\in \left(a,\; b\right)

Для убывания функции достаточно, чтобы f'\left(x\right)<0 для всех x\in \left(a,\; b\right).

Для исследования функции f\left(x\right) на монотонность необходимо:

  1. найти её производную f'\left(x\right);
  2. найти критические точки функции как решения уравнения f'\left(x\right)=0;
  3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
  4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти промежутки монотонности функцииf\left(x\right)=3+9x^{2} -x^{3}
Решение Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную заданной функции

    \[f'\left(x\right)=18x-3x^{2} \]

Найдем критические точки, для этого решим уравнение

    \[18x-3x^{2} =0\Leftrightarrow 3x\left(6-x\right)=0\Leftrightarrow x_{1} =0; x_{2} =6\]

Эти точки разбивают область определения на три интервала, занесем их в таблицу:

x \left(-\infty ;\; 0\right) \left(0;\; 6\right) \left(6;\; +\infty \right)
f'\left(x\right) +
f\left(x\right) убывает возрастает убывает

Ответ Функция f\left(x\right)=3+9x^{2} -x^{3} возрастает на промежутке \left(0;\; 6\right) и убывает на промежутках \left(-\infty ;\; 0\right),\; \left(6;\; +\infty \right)
ПРИМЕР 2
Задание Определить промежутки возрастания и убывания функции

    \[ y=\frac{x^{2} +1}{x} \]

Решение Область определения функции D\left(y\right):x\in \left(-\infty ;\; 0\right)\bigcup \left(0;\; +\infty \right)

Вычислим производную заданной функции

    \[y'=\frac{2x\cdot x-1\cdot \left(x^{2} +1\right)}{x} =\frac{x^{2} -1}{x} \]

Приравняем найденную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения

    \[\frac{x^{2} -1}{x} =0\Leftrightarrow    \frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x} =0   \Leftrightarrow    x\ne 0; x_{1} =-1; x_{2} =1 \]

Получаем четыре интервала, внесем их в таблицу.

x \left(-\infty ;\; -1\right) \left(-1;\; 0\right) \left(0;\; 1\right) \left(1;\; +\infty \right)
y' + +
y убывает возрастает убывает возрастает

Ответ Функция y=\frac{x^{2} +1}{x} возрастает на промежутках \left(-1;\; 0\right),\; \left(1;\; +\infty \right) и убывает на промежутках \left(-\infty ;\; -1\right),\; \left(1;\; +\infty \right)