Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

График производной функции

С помощью графика производной функции y = f'(x) можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции y = f(x) . Для этого достаточно помнить, что:

  1. функция y = f(x) возрастает на промежутках, где производная y = f'(x) > 0 ;
  2. функция y = f(x) убывает на промежутках, где производная y = f'(x) < 0 ;
  3. функция y = f(x) имеет критические точки, где производная f'(x) = 0 или не существует.

    Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

  4. функция y = f(x) имеет точки экстремума там, где производная y = f'(x) меняет свой знак. В частности, функция y = f(x) имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.

Примеры работы с графиками производной

ПРИМЕР 1
Задание На рисунке 1 изображен график производной функции y = f'(x) . С помощью графика найти промежутки монотонности функции y = f(x) , ее критические точки и точки экстремума.

Рисунок 1

Решение Функция y = f(x) возрастает на промежутках (x_1 ; x_3) и (x_4 ; x_5) , так как на этих промежутках производная y = f'(x) положительна (ее график расположен выше оси абсцисс). Точку x_2 не исключаем из промежутка возрастания, так как производная в этой точке равна нулю, но знак не меняет.

Функция y = f(x) убывает на промежутке (x_3 ; x_4) , так как на этом интервале производная y = f'(x) отрицательна (ее график расположен ниже оси Ox ).

Критические точки функции y = f(x) – это точки x_2 , x_3 , x_4 . В этих точках производная обращается в нуль (график производной пересекает ось Ox ). При этом точка x = x_3 является точкой максимума функции y = f(x) , поскольку производная y = f'(x) в этой точке меняет знак с плюса на минус (график производной пересекает абсцисс в направлении сверху вниз). Точка x = x_4 – точка минимума функции y = f(x) , так как производная y = f'(x) в этой точке меняет знак с минуса на плюс (график производной пересекает Ox в направлении снизу вверх).

То есть точками экстремума являются точки x_3 , x_4 . В них производная не только обращается в нуль, но и меняет свой знак. Точка x = x_2 – критическая точка, не являющаяся точкой экстремума, поскольку производная y = f'(x) не сменила знак.

Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.

По графику производной y = f'(x) можно не только исследовать поведение функции y = f(x) , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.

ПРИМЕР 2
Задание Дан график производной: y = f'(x) (рис. 2). Построить график функции y = f(x) .

Рисунок 2

Решение Точки x_2 , x_3 , x_4 , в которых производная y = f'(x) обращается в нуль (график производной пересекает ось абсцисс) – это критические точки функции y = f(x) . Так как в этих точках график функции y = f'(x) пересекает ось абсцисс, то указанные точки являются точками экстремума функции y = f(x) .

Так как в точках x = x_2 и x = x_4 производная меняет знак с «–» на «+», то эти точки являются точками минимума функции y = f(x) . В точке x = x_3 производная меняет знак с «+» на «–», поэтому эта точка – точка максимума.

На промежутках (x_1 ; x_2) и (x_3 ; x_4) производная f'(x) < 0 (график функции лежит ниже оси абсцисс), следовательно, функция y = f(x) на этих промежутках убывает. На промежутках (x_2 ; x_3) и (x_4 ; x_5) производная f'(x) > 0 (график функции лежит выше оси Ox ), поэтому для функции y = f(x) они являются промежутками возрастания.

Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y = f(x) не получится.

Строим эскиз графика функции y = f(x) (рис. 3). Это один из множества графиков первообразных для функции y = f'(x) . Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси Oy .

Рисунок 3