Точки перегиба функции
Геометрический смысл точки перегиба функции
В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую.
Необходимое условие существования точки перегиба функции. Для того чтобы функция имела перегиб в точке , необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке , либо чтобы была для второй производной точкой разрыва, либо чтобы вторая производная в точке не существовала.
Первое достаточное условие существования точки перегиба функции. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой выколотой -окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку вторая производная функции меняет знак, то точка является точкой перегиба функции .
Второе достаточное условие существования точки перегиба функции. Если для функции в точке вторая производная равна нулю, а третья нет
то точка является точкой перегиба функции .
Примеры решения задач
Задание | Найти точки перегиба функции |
Решение | Найдем вторую производную заданной функции. По определению , следовательно, найдем сначала первую производную
Приравниваем к нулю вторую производную и находим корни полученного уравнения
Найдем третью производную заданной функции и проверим её значение в найденных точках
Следовательно, в точках функция имеет перегиб. Найдем значение функции в этих точках:
|
Ответ | — точки перегиба. |
Задание | Найти точки перегиба функции |
Решение | Найдем вторую производную заданной функции
Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения
В промежутках функция принимает положительные значения, следовательно , а в промежутках . Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции имеет перегиб. |
Ответ | — точки перегиба. |