Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Точки перегиба функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точкой перегиба функции f\left(x\right) называется точка, в которой эта функция меняет направление выпуклости.

Геометрический смысл точки перегиба функции

В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

Необходимое условие существования точки перегиба функции. Для того чтобы функция f\left(x\right) имела перегиб в точке M\left(x_{0} ,\; f\left(x_{0}\right)\right), необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке x_{0}, либо чтобы x_{0} была для второй производной точкой разрыва, либо чтобы вторая производная в точке x_{0} не существовала.

Первое достаточное условие существования точки перегиба функции. Пусть функция f\left(x\right) имеет вторую производную в некоторой выколотой \varepsilon-окрестности точки x_{0} и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку x_{0} вторая производная функции f\left(x\right) меняет знак, то точка M\left(x_{0} ,\; f\left(x_{0} \right)\right) является точкой перегиба функции f\left(x\right).

Второе достаточное условие существования точки перегиба функции. Если для функции f\left(x\right) в точке x_{0} вторая производная равна нулю, а третья нет

    \[f''\left(x_{0} \right)=0,   f'''\left(x_{0} \right)\ne 0,\]

то точка M\left(x_{0} ,\; f\left(x_{0} \right)\right) является точкой перегиба функции f\left(x\right).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти точки перегиба функции y=x^{4} -6x^{2} +4
Решение Найдем вторую производную заданной функции. По определению y''=\left(y'\right)^{{'} }, следовательно, найдем сначала первую производную

    \[y'=4x^{3} -12x;\]

    \[y''=\left(4x^{3} -12x\right)^{{'} } =12x^{2} -12\]

Приравниваем к нулю вторую производную и находим корни полученного уравнения

    \[12x^{2} -12=0   \Leftrightarrow    12\left(x^{2} -1\right)=0   \Leftrightarrow    12\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0   \Leftrightarrow    x_{1} =-1; x_{2} =1 \]

Найдем третью производную заданной функции и проверим её значение в найденных точках

    \[y'''=\left(12x^{2} -12\right)^{{'} } =24x;\]

    \[y'''\left(-1\right)=-24\ne 0;\   y'''\left(1\right)=24\ne 0\]

Следовательно, в точках x_{1} =-1;\ x_{2} =1 функция y=x^{4} -6x^{2} +4 имеет перегиб. Найдем значение функции в этих точках:

    \[y\left(-1\right)=\left(-1\right)^{4} -6\cdot \left(-1\right)^{2} +4=-1;\   y\left(1\right)=1^{4} -6\cdot 1^{2} +4=-1\]

Ответ M_{1} \left(-1;\; -1\right);\ M_{2} \left(1;\; -1\right) — точки перегиба.
ПРИМЕР 2
Задание Найти точки перегиба функции f\left(x\right)=\sin x
Решение Найдем вторую производную заданной функции

    \[f'\left(x\right)=\cos x;\   f''\left(x\right)=-\sin x\]

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения

    \[-\sin x=0   \Leftrightarrow    x=\pi k,\quad k\in Z\]

В промежутках \left(2\pi k;\; \pi +2\pi k\right),\ k\in Z функция f\left(x\right)=\sin x принимает положительные значения, следовательно f''\left(x\right)=-\sin x<0, а в промежутках \left(\pi +2\pi k;\; 2\pi +2\pi k\right),\ k\in Z,\ \sin x<0 \Rightarrow  f''\left(x\right)>0. Значит, в точках x=\pi k,\quad k\in Z вторая производная меняет знак и в этих точках график функции f\left(x\right)=\sin x имеет перегиб.

Ответ x=\pi k,\quad k\in Z — точки перегиба.