Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Область определения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Областью определения или областью задания функции y=f\left(x\right) называется множество значений x, для которых существуют значения y=f\left(x\right).

Обозначается область определения функции — D\left(f\right) или D\left(y\right).

Нахождение области определения функции

Схема нахождения области определения функций:

  1. Если f\left(x\right) представляет собой многочлен, то областью определения функции y=f\left(x\right) будет множество всех действительных чисел.
  2. Если f\left(x\right) — рациональная дробь, то областью является множество всех действительных чисел кроме тех значений E, при которых знаменатель равен нулю.
  3. Если функция имеет вид y=\sqrt{f\left(x\right)}, то областью определения будет множество решений неравенства f\left(x\right)\ge 0.
  4. Если функция имеет вид y=\frac{g\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}, где g\left(x\right) некоторый многочлен, то областью определения будет множество решений неравенства f\left(x\right)>0.
  5. Область определения суммы, разности или произведения двух или нескольких функций есть пересечение областей определений этих функций, для её отыскания составляется и затем решается система соответствующих условий.
  6. Для логарифмической функции y=\log _{a} x (a>0,\; \; a\ne 1) областью определения есть интервал \left(0;\; +\infty \right).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти область определения следующих функций:

    \[1)\ y_{1} =x^{2} +2-\frac{3}{x-5} ;\ 2) \ y_{2} =\sqrt{x^{2} -3x+2} ;\ 3) \ y_{3} =\frac{2x-7}{\sqrt{3x+21} } \]

Решение 1) Функцию y_{1} =x^{2} +2-\frac{3}{x-5} можно представить в виде разности двух функций

    \[f_{1} \left(x\right)=x^{2} +2;\ f_{2} \left(x\right)=\frac{3}{x-5}\]

Функция f_{1} \left(x\right) является многочленом и её областью определения есть множество всех действительных чисел R.

Функция f_{2} \left(x\right) является дробно-рациональной. Найдем значения x, которые обнуляют знаменатель

    \[x-5\ne 0\Rightarrow x\ne 5\]

Таким образом, область определения функции y_{1} находится из системы

    \[\left\{\begin{array}{c} {x\in R,} \\ {x\ne 5,} \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad D\left(y_{1} \right):x\in \left(-\infty ,\; 5\right)\bigcup \left(5,\; +\infty \right)\]

2) Для нахождения области определения y_{2} =\sqrt{x^{2} -3x+2} решим неравенство

    \[x^{2} -3x+2\ge 0\]

Разложим на множители левую часть этого неравенства. Для этого решим уравнение x^{2} -3x+2=0. По теореме Виета: x_{1} +x_{2} =3;\ x_{1} \cdot x_{2} =2, отсюда x_{1} =1,\ x_{2} =2. Таким образом, неравенство примет вид

    \[\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge 0\]

Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.

Область определения второй функции

Таким образом, D\left(y_{2} \right):x\in \left(\left. -\infty ,\; 1\right]\right. \bigcup \left[\left. 2,\; +\infty \right)\right..

3) Функция y_{3} =\frac{2x-7}{\sqrt{3x+21} } представляет собой дробно-рациональную функцию, в числителе которой многочлен. Область определения многочлена есть множество действительных чисел R. В знаменателе корень, область его определения находим из системы

    \[\left\{\begin{array}{c} {3x+21\ge 0,} \\ {3x+21\ne 0,} \end{array}\right. \Rightarrow 3x+21>0\Rightarrow 3x>-21\Rightarrow x>-7\]

Таким образом, D\left(y_{3} \right):x\in \left(-7,\; +\infty \right).

Ответ D\left(y_{1} \right):x\in \left(-\infty ,\; 5\right)\bigcup \left(5,\; +\infty \right),

D\left(y_{2} \right):x\in \left(\left. -\infty ,\; 1\right]\right. \bigcup \left[\left. 2,\; +\infty \right)\right ,

D\left(y_{3} \right):x\in \left(-7,\; +\infty \right)

ПРИМЕР 2
Задание Найти область определения следующих функций:

    \[1)\ y_{1} =\sqrt{3^{2x-5} -1} ;\ 2)\ y_{2} =\sqrt{-\log _{2} x+1} ;\ 3)\ y_{3} =\log _{x} \left(x-0,5\right)\]

Решение 1) Для нахождения области определения функции y_{1} =\sqrt{3^{2x-5} -1} решим неравенство

    \[3^{2x-5} -1>0\Rightarrow 3^{2x-5} >1\Rightarrow 3^{2x-5} >3^{0} \]

Поскольку основание степени 3>1, то приходим к неравенству

    \[2x-5>0\Rightarrow 2x>5\Rightarrow x>2,5\]

Таким образом, D\left(y_{1} \right):x\in \left(2,5;\; +\infty \right).

2) Для нахождения области определения функции y_{2} =\sqrt{-\log _{2} x+1} нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а подлогарифмическая функция — положительной. Имеет место система неравенств

    \[\left\{\begin{array}{l} {-\log _{2} x+1\ge 0,} \\ {x>0.} \end{array}\right. \]

Решим первое неравенство отдельно

    \[-\log _{2} x+1\ge 0\Rightarrow \log _{2} x\le 1\]

Согласно определению логарифма, придем к неравенству

    \[x\le 2\]

Возвращаясь к системе неравенств, имеем

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\le 2,} \\ {x>0,} \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad 0<x\le 2\]

Таким образом, искомая область определения D\left(y_{2} \right):x\in \left(\left. 0,\; 2\right]\right..

3) Учитывая определение логарифмической функции, область определения y_{3} =\log _{x} \left(x-0,5\right) найдем из системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {x>0,} \\ {x\ne 1,} \\ {x-0,5>0,} \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} {x>0,} \\ {x\ne 1,} \\ {x>0,5;} \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} {x\ne 1,} \\ {x>0,5;} \end{array}\right. \Rightarrow \left(0,5;\; 1\right)\bigcup \left(1;+\infty \right)\]

В результате имеем, что D\left(y_{3} \right):x\in \left(0,5;\; 1\right)\bigcup \left(1;\, +\infty \right).

Ответ D\left(y_{1} \right):x\in \left(2,5;\; +\infty \right);

D\left(y_{2} \right):x\in \left(\left. 0,\; 2\right]\right;

D\left(y_{3} \right):x\in \left(0,5;\; 1\right)\bigcup \left(1;\, +\infty \right)