Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Асимптоты графика функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Асимптотой графика функции f\left(x\right) называется прямая такая, что расстояние от точки \left(x,f\left(x\right)\right) до этой прямой стремится к нулю при движении сколь угодно далеко от начала координат.

Вертикальные и наклонные асимптоты функции

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f\left(x\right), если хотя бы один из пределов

    \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f\left(x\right), \mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f\left(x\right), \mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f\left(x\right)\]

равен +\infty или -\infty.

Вертикальные асимптоты ищут в точках разрыва функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f\left(x\right), если существуют конечные пределы

    \[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{f\left(x\right)}{x} ;\ b=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left[f\left(x\right)-kx\right]\]

Если при этом k=0, то y=bгоризонтальная асимптота.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти асимптоты функции y=3x-\frac{2}{x}
Решение Область определения этой функции D\left(y\right)=\left(-\infty ;0\right)\bigcup \left(0;+\infty \right). При x=0 функция имеет разрыв. Проверим, является ли прямая x=0 вертикальной асимптотой.

    \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \left(3x-\frac{2}{x} \right)=-\infty ; \mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \left(3x-\frac{2}{x} \right)=+\infty \]

Поскольку односторонние пределы в точке x=0 бесконечны, то прямая x=0 — вертикальная асимптота.

Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту y=kx+b. Найдем следующие пределы

    \[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(3x-\frac{2}{x} \right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -2}{x^{2} } =3;\]

    \[b=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(3x-\frac{2}{x} -3x\right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(-\frac{2}{x} \right)=0\]

Таким образом, y=3x — наклонная асимптота.

Ответ Функция y=3x-\frac{2}{x} имеет вертикальную асимптоту — x=0 и наклонную асимптоту — y=3x
ПРИМЕР 2
Задание Найти асимптоты функции

    \[y=\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } \]

Решение Область определения заданной функции D\left(y\right)=\left(-\infty ;0\right)\bigcup \left(0;+\infty \right). Прямая x=0 — вертикальная асимптота, так как

    \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0\pm 0} \left(\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } \right)=-\infty \]

Покажем, что функция имеет и наклонную асимптоту, задаваемую уравнением y=kx+b. Найдем коэффициенты k и b:

    \[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } \right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{4x^{2} +3x-2}{x^{3} } =0;\]

    \[b=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } -0\cdot x\right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } \right)=4\]

Значит, данная функция имеет горизонтальную асимптоту y=4.

Ответ Функция y=\frac{4x^{2} +3x-2}{x^{2} } имеет вертикальную асимптоту — x=0 и горизонтальную асимптоту — y=4