Точки пересечения функции с осями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Точки пересечения функции $f\left(x\right)$ с осями $Ox;\ Oy$ имеют координаты $\left(x_{0} ,0\right);\ \left(0,\, y_{0} \right)$ соответственно.

Для нахождения точек пересечения функции $y=f\left(x\right)$ с осью $Ox$ необходимо положить $y=0$ , то есть найти решения уравнения $f\left(x\right)=0$ . Для нахождения точек пересечения функции $y=f\left(x\right)$ с $Oy$ необходимо положить $x=0$ и найти значения $y=f\left(0\right)$ .

Примеры нахождения точек пересечения функции с осями

ПРИМЕР 1

Задание

Найти точки пересечения следующих квадратичных функций с осями координат:

$1)\ y=2x^{2} -3x+2;\ 2) y=-3x^{2} +2x+1$

Решение

1) При нахождении точки пересечения с $Oy$ положим $x=0$ , тогда

$y\left(0\right)=2\cdot 0^{2} -3\cdot 0+2=2$

и получаем точку $\left(0,\, 2\right)$ . При нахождении точки пересечения с $Ox$ , положим $y=0$ . Приходим к следующему квадратному уравнению

$2x^{2} -3x+2=0,$

где $a=2; b=-3; c=2$ . Найдем корни этого уравнения, для этого вычислим дискриминант по формуле $D=b^{2} -4ac$ , получим

$D=\left(-3\right)^{2} -4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7$

Дискриминант $D<0$ , следовательно, данное уравнение не имеет решений, а функция $y=2x^{2} -3x+2$ не пересекает ось абсцисс.

2) Найдем точки пересечения функции $y=-3x^{2} +2x+1$ с осью ординат. В этом случае $x=0$ , тогда

$y\left(0\right)=-3\cdot 0^{2} +2\cdot 0+1=1$

Получили точку $\left(0,\, 1\right)$ — точку пересечения $y=-3x^{2} +2x+1$ с ось $Oy$ .

Найдем точку пересечения заданной функции с осью абсцисс, в этом случае $y=0$ и приходим к уравнению

$-3x^{2} +2x+1=0$

Это квадратное уравнение $a=-3; b=2; c=1$ . Вычислим дискриминант

$D=b^{2} -4ac=2^{2} -4\cdot \left(-3\right)\cdot 1=4+12=16$

Дискриминант положительный, поэтому исходное квадратное уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a}$ :

$x_{1} =\frac{-2+\sqrt{16} }{2\cdot \left(-3\right)} =\frac{-2+4}{-6} =-\frac{1}{3} ,\ x_{2} =\frac{-2-\sqrt{16} }{2\cdot \left(-3\right)} =\frac{-2-4}{-6} =1$

Таким образом, функция $y=-3x^{2} +2x+1$ имеет две точки пересечения с осью абсцисс: $\left(-\frac{1}{3} ,\, 0\right);\ \left(1,\, 0\right)$ .

Ответ

1) функция $y=2x^{2} -3x+2$ пересекает ось $Oy$ в точке $\left(0,\, 2\right)$ и не пересекает ось $Ox$ ;

2) функция $y=-3x^{2} +2x+1$ пересекает ось ординат в точке $\left(0,1\right)$ и ось абсцисс в точках $\left(-\frac{1}{3} ,\, 0\right);\ \left(1,\, 0\right)$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Найти точки пересечения функции $y=-\cos 2x$ с осями координат.

Решение

1) При пересечении с осью ординат значение $x=0$ , а

$y\left(0\right)=-\cos \left(2\cdot 0\right)=-\cos 0=-1$

Получили точку $\left(0,\; -1\right)$ . При пересечении с осью абсцисс $y=0$ , тогда приходим к тригонометрическому уравнению

$-\cos 2x=0\Rightarrow \cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2} +\pi k,\; k\in Z\Rightarrow x=\frac{\pi }{4} +\frac{\pi k}{2} ,\; k\in Z$

Таким образом, функция $y=-\cos 2x$ имеет бесконечное множество точек пересечения с осью абсцисс вида $\left(\frac{\pi }{4} +\frac{\pi k}{2} ,\; 0\right),\; k\in Z$ .

Ответ

Функция $y=-\cos 2x$ пересекает ось $Oy$ в точке $\left(0,\; -1\right)$ и ось $Ox$ в точках $\left(\frac{\pi }{4} +\frac{\pi k}{2} ,\; 0\right),\; k\in Z$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Точки пересечения функции с осями

Примеры нахождения точек пересечения функции с осями