Экстремумы функции
Точки экстремума функции
Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки — , что для всех из этой окрестности, отличных от выполняется неравенство .
Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .
Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке и при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
Для исследования функции на экстремум необходимо:
- найти критические точки функции;
- проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
- вычислить значения максимума или минимума .
Примеры исследования функции на экстремум
Задание | Найти экстремум функции |
Решение | Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции
приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения
Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума
В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно
|
Ответ |
Задание | Найти экстремум функции
|
Решение | Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть .
Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки
Приравниваем к нулю производную
Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно
|
Ответ |