Экстремумы функции
Точки экстремума функции
Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая
-окрестность точки
—
, что для всех
из этой окрестности, отличных от
выполняется неравенство
.
Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке
. Если в некоторой точке
функция
имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю:
.
Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке
и при переходе через эту точку в сторону возрастания
меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке
функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку
производная функции не меняет знак, то в этой точке функция
экстремума не имеет.
Для исследования функции на экстремум необходимо:
- найти критические точки функции;
- проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
- вычислить значения максимума
или минимума
.
Примеры исследования функции на экстремум
Задание | Найти экстремум функции ![]() |
Решение | Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции
приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения Получили две критические точки ![]() В точке В точке |
Ответ |
![]() |
Задание | Найти экстремум функции
|
Решение | Область определения функции ![]() ![]() ![]() Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки Приравниваем к нулю производную Получаем одну критическую точку ![]() В точке |
Ответ |
![]() |
