Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Экстремумы функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке x_{0} максимум (минимум), если существует такая \delta-окрестность точки x_{0}\left(x_{0} -\delta ,\; x_{0} +\delta \right), что для всех x из этой окрестности, отличных от x_{0} выполняется неравенство f\left(x\right)<f\left(x_{0} \right) \left(f\left(x\right)>f\left(x_{0} \right)\right).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция f\left(x\right) дифференцируема в промежутке \left(a,\, b\right). Если в некоторой точке x_{0} \in \left(a,\, b\right) функция f\left(x\right) имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: f'\left(x_{0} \right)=0.

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции f\left(x\right) равна нулю в точке x_{0} и при переходе через эту точку в сторону возрастания x меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке x_{0} функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку x_{0} производная функции не меняет знак, то в этой точке функция f\left(x\right) экстремума не имеет.

Для исследования функции на экстремум необходимо:

  1. найти критические точки функции;
  2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
  3. вычислить значения максимума y_{\max } или минимума y_{\min }.

Примеры исследования функции на экстремум

ПРИМЕР 1
Задание Найти экстремум функции y=x^{3} -3x+1
Решение Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции

    \[y'=3x^{2} -3,\]

приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

    \[3x^{2} -3=0\Rightarrow x^{2} -1=0\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x_{1} =-1,\quad x_{2} =1\]

Получили две критические точки x_{1} =-1;\ x_{2} =1. Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.

Пример исследования функции на экстремум

В точке x_{1} =-1 производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума

    \[y_{\max } =y\, \left(-1\right)=\left(-1\right)^{3} -3\cdot \left(-1\right)+1=-1+3+1=3\]

В точке x_{2} =1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, x_{2} — точка минимума. Значение минимума соответственно равно

    \[y_{\min } =y\, \left(1\right)=1^{3} -3\cdot 1+1=1-3+1=-1\]

Ответ y_{\max } =3,\ y_{\min } =-1
ПРИМЕР 2
Задание Найти экстремум функции

    \[y=x^{2} -\frac{2}{x}\]

Решение Область определения функции y=x^{2} -\frac{2}{x} — вся числовая прямая, за исключением точки x=0, то есть D\left(y\right):x\in \left(-\infty ;\; 0\right)\bigcup \left(0;\; +\infty \right).

Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки

    \[y'=2x+\frac{2}{x^{2} } \]

Приравниваем к нулю производную

    \[2x+\frac{2}{x^{2} } =0\Rightarrow \frac{2x^{3} +2}{x^{2} } =0\Rightarrow 2\left(x^{3} +1\right)=0\Rightarrow x^{3} =-1\]

Получаем одну критическую точку x=-1. Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах

Экстремумы функции, пример 2

В точке x=-1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно

    \[y_{\min } =y\, \left(1\right)=1^{2} -\frac{2}{1} =-1\]

Ответ y_{\min } =-1