Теорема Виета

ТЕОРЕМА

Теорема Виета формула. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ , то

$x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} \text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Следствие

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни приведенного квадратного уравнения $x^{2}+bx+c=0$ , то

$x_{1}+x_{2} = -b \text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2} = c$

то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Обратная теорема Виета

ТЕОРЕМА

Если числа $m$ и $n$ такие, что $m+n = -\frac{b}{a} \text{ }; \text{ } m \cdot n = \frac{c}{a}$ , то эти числа являются корнями квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ .

Следствие. Если числа $m$ и $n$ такие, что $m+n = -b \text{ };\text{ } m \cdot n = c$ , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^{2}+bx+c=0$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $\left( -\frac{1}{3} \right)$ и $2$ .

Решение

Обозначим корни $x_{1}=-\frac{1}{3}$ и $x_{2}=2$ . Тогда, согласно теореме Виета,

$x_{1}+x_{2} = -\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3} \text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2} = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$

То есть числа $x_{1}=-\frac{1}{3}$ и $x_{2}=2$ являются корнями уравнения $x^{2}-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}$ . Умножив обе части этого уравнения на 3, получаем следующее квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

$3x^{2}-5x-2=0$

Ответ

$3x^{2}-5x-2=0$

ПРИМЕР 2

Задание

Используя теорему Виета, решить следующие квадратные уравнения

а) $x^{2}+5x+4=0$

б) $x^{2}+4x-5=0$

Решение

а) Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета имеем, что

$x_{1}+x_{2} = -5 \text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2} = 4$

Проанализируем эти два равенства. Произведение корней положительно, следовательно, корни одного знака. Сумма корней число отрицательные, следовательно, корни – отрицательные числа. Далее разложим $4$ на множители, учитывая, что они должны быть отрицательными. Возможны такие варианты: $-4$ и $-1; -2$ и $-2$ . Так как сумма корней равна – $5$ , то подходящими будут числа $x_{1}=-4$ и $x_{2}=-1$ .

б) Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета:

$x_{1}+x_{2} = -4 \text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2} = -5$

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим $-5$ на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: $-5$ и $1, 5$ и $-1$ . Так как сумма корней равна $-4$ , то корнями будут числа $x_{1}=-5$ и $x_{2}=1$ .

Ответ

а) $x_{1}=-4$ и $x_{2}=-1$

б) $x_{1}=-5$ и $x_{2}=1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!