Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Виета

ТЕОРЕМА
Теорема Виета формула. Если x_{1} и x_{2} – корни квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0, то

    \[    x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} \text{ };\text{ }\text{ }  x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \]

Следствие

Если x_{1} и x_{2} – корни приведенного квадратного уравнения x^{2}+bx+c=0, то

    \[    x_{1}+x_{2} = -b \text{ };\text{ }\text{ }  x_{1} \cdot x_{2} = c \]

то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Обратная теорема Виета

ТЕОРЕМА
Если числа m и n такие, что m+n = -\frac{b}{a} \text{ }; \text{ } m \cdot n = \frac{c}{a}, то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

Следствие. Если числа m и n такие, что m+n = -b \text{ };\text{ } m \cdot n = c, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x^{2}+bx+c=0.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны \left( -\frac{1}{3} \right) и 2.
Решение Обозначим корни x_{1}=-\frac{1}{3} и x_{2}=2. Тогда, согласно теореме Виета,

    \[    x_{1}+x_{2} = -\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3} \text{ };\text{ }\text{ }  x_{1} \cdot x_{2} = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3} \]

То есть числа x_{1}=-\frac{1}{3} и x_{2}=2 являются корнями уравнения x^{2}-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}. Умножив обе части этого уравнения на 3, получаем следующее квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

    \[    3x^{2}-5x-2=0 \]

Ответ 3x^{2}-5x-2=0
ПРИМЕР 2
Задание Используя теорему Виета, решить следующие квадратные уравнения

а) x^{2}+5x+4=0

б) x^{2}+4x-5=0

Решение а) Пусть x_{1} и x_{2} – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета имеем, что

    \[    x_{1}+x_{2} = -5 \text{ };\text{ }\text{ }  x_{1} \cdot x_{2} = 4 \]

Проанализируем эти два равенства. Произведение корней положительно, следовательно, корни одного знака. Сумма корней число отрицательные, следовательно, корни – отрицательные числа. Далее разложим 4 на множители, учитывая, что они должны быть отрицательными. Возможны такие варианты: -4 и -1; -2 и -2. Так как сумма корней равна –5, то подходящими будут числа x_{1}=-4 и x_{2}=-1.

б) Пусть x_{1} и x_{2} – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета:

    \[    x_{1}+x_{2} = -4 \text{ };\text{ }\text{ }  x_{1} \cdot x_{2} = -5 \]

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим -5 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: -5 и 1, 5 и -1. Так как сумма корней равна -4, то корнями будут числа x_{1}=-5 и x_{2}=1.

Ответ а) x_{1}=-4 и x_{2}=-1

б) x_{1}=-5 и x_{2}=1