Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Промежутки выпуклости и вогнутости функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=f\left(x\right) называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале \left(a;\; b\right), если на этом интервале график y=f\left(x\right) расположен не выше (не ниже) касательной, проведённой к нему в произвольной точке интервала \left(a;\; b\right) .

Условия вогнутости и выпуклости функции на интервале

Если на некотором интервале \left(a;\; b\right) вторая производная функции y=f\left(x\right) сохраняет знак «+» для всех точек интервала, то на этом интервале функция вогнута (обозначается \bigcup). Если на некотором интервале \left(a;\; b\right) вторая производная f''\left(x\right)<0 для всех точек интервала, то на этом говорят, что функция выпукла (обозначается \bigcap).

Для промежутков вогнутости и выпуклости функции f\left(x\right) необходимо:

  1. найти область определения функции;
  2. найти её вторую производную f''\left(x\right);
  3. найти стационарные точки функции, то есть решить уравнение f''\left(x\right)=0;
  4. определить знак второй производной на каждом из промежутков, на которые стационарные точки разбивают область определения функции;
  5. согласно условию вогнутости и выпуклости функции на интервале определить промежутки вогнутости и выпуклости.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции y=\left(x^{2} -2\right)^{2}
Решение Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции

    \[y'=2\left(x^{2} -2\right)\cdot 2x=4x^{3} -8x;\]

    \[y''=12x^{2} -8\]

Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения

    \[12x^{2} -8=0   \Leftrightarrow    3x^{2} -2=0   \Leftrightarrow    x_{1,2} =\pm \sqrt{\frac{2}{3} } \]

Полученные точки разбивают область определения на три интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и результаты занесем в таблицу

x \left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3} } \right) \left(-\sqrt{\frac{2}{3} } ;\sqrt{\frac{2}{3} } \right) \left(\sqrt{\frac{2}{3} } ;+\infty \right)
y'' + +
y \bigcup \bigcap \bigcup

Ответ Функция y=\left(x^{2} -2\right)^{2} выпукла на интервале \left(-\sqrt{\frac{2}{3} } ;\sqrt{\frac{2}{3} } \right) и вогнута на промежутках \left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3} } \right),\; \left(\sqrt{\frac{2}{3} } ;+\infty \right)
ПРИМЕР 2
Задание Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции

    \[ y=\frac{2x}{x^{2} +1} \]

Решение Область определения функции: D(y):\, x\in \left(-\infty ;\; +\infty \right). Найдем вторую производную функции

    \[y'=\frac{2\left(x^{2} +1\right)-2x\cdot 2x}{\left(x^{2} +1\right)^{2} } =\frac{2x^{2} +2-4x^{2} }{\left(x^{2} +1\right)^{2} } =\frac{-2\left(x^{2} -1\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{2} } ;\]

    \[y''=-2\cdot \frac{2x\cdot \left(x^{2} +1\right)^{2} -2\left(x^{2} +1\right)\cdot 2x\cdot \left(x^{2} -1\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{4} } =-2\cdot \frac{2x\cdot \left(x^{2} +1\right)-4x\cdot \left(x^{2} -1\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{3} } =\]

    \[=\frac{-4x\cdot \left(x^{2} +1-2x^{2} +2\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{3} } =\frac{4x\cdot \left(x^{2} -3\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{3} } \]

Найдем решения уравнения y''=0 (стационарные точки функции):

    \[\frac{4x\cdot \left(x^{2} -3\right)}{\left(x^{2} +1\right)^{3} } =0   \Leftrightarrow    x\cdot \left(x^{2} -3\right)=0   \Leftrightarrow    x_{1} =0, x_{2,3} =\pm \sqrt{3} \]

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и составим в таблицу

x \left(-\infty ;\; -\sqrt{3} \right) \left(-\sqrt{3} ;0\right) \left(0;\; \sqrt{3} \right) \left(\sqrt{3} ;+\infty \right)
y'' + +
y \bigcap \bigcup \bigcap \bigcup

Ответ Функция выпукла на промежутках \left(-\infty ;\; -\sqrt{3} \right),\ \left(0;\; \sqrt{3} \right) и вогнута на промежутках \left(-\sqrt{3} ;0\right),\ \left(\sqrt{3} ;+\infty \right)