Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Парабола

Определение параболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Точка F\left(\frac{p}{2} ,0\right) называется фокусом параболы, а фиксированной прямая – директрисой параболы.

Основные формулы и определения параболы

Уравнение директрисы параболы

    \[x=-\frac{p}{2} \]

Каноническое уравнение параболы имеет вид

    \[y^{2} =2px,\]

где p – расстояние от фокуса до директрисы параболы и называется фокальным параметром параболы.

Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы (на рисунке 1 это точка F).

Если парабола задана своим каноническим уравнением, то осью параболы является ось Ox, а вершиной параболы – начало координат.

Хорды, проходящие через фокус параболы, называются ее фокальными хордами.

Пусть точка M(x_{0} ,y_{0} ) лежит на параболе. Касательная к параболе в этой точке определяется уравнением:

    \[yy_{0} =p(x+x_{0} )\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 12.
Решение Каноническое уравнение параболы имеет вид

    \[y^{2} =2px,\]

где p – расстояние от фокуса до директрисы параболы. По условию задачи расстояние от фокуса до директрисы равно 12, т.е. p=12, поэтому искомое каноническое уравнение

    \[y^{2} =2\cdot 12x=24x\]

Ответ Каноническое уравнение параболы: y^{2} =24x
ПРИМЕР 2
Задание Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы y^{2} =-3x
Решение У заданной параболы y^{2} =-3x параметр p=-\frac{3}{2}. Поэтому координаты фокуса F\left(\frac{p}{2} ;\; 0\right)=F\left(-\frac{3}{4} ;\; 0\right), а уравнение директрисы параболы

    \[x=-\frac{p}{2} =\frac{3}{4} \]

Ответ F\left(-\frac{3}{4} ,0\right), x=\frac{3}{4}