Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула вершины параболы

Определение и формула вершины параболы

Если парабола задана своим каноническим уравнением y^{2} =2px, то вершиной параболы является начало координат.

В школьном курсе математики параболой называется график квадратичной функции y=ax^{2} +bx+c.

Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

    \[x_{bep} =-\frac{b}{2a} \]

Чтобы определить ординату вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо x, найденное в предыдущем шаге значение x_{bep}:

    \[y_{bep} =y\left(x_{bep} \right)=a\cdot x_{bep}^{2} +b\cdot x_{bep} +c\]

Но можно поступить иначе. В уравнении y=ax^{2} +bx+c выделить полный квадрат следующим образом

    \[    y=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} +\frac{4ac-b^{2} }{4a} \]

Тогда вершина параболы будет иметь координаты:

    \[    \left(-\frac{b}{2a} ;\; \frac{4ac-b^{2} }{4a} \right) \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти вершину параболы, заданной уравнением y=2x^{2} +12x-5
Решение Найдем абсциссу вершины параболы:

    \[x_{bep} =-\frac{b}{2a} =-\frac{12}{2\cdot 2} =-3\]

Подставим полученное значение в уравнение параболы, что позволит нам найти ординату вершины параболы:

    \[y_{bep} =2\cdot (-3)^{2} +12\cdot (-3)-5=18-36-5=-23\]

Таким образом, вершиной параболы является точка (-3;\; -23).

Ответ Вершиной параболы является точка (-3;\; -23)
ПРИМЕР 2
Задание Составить уравнение параболы, если известно, что ее вершина находится в точке (2;\; 6) и парабола пересекает ось Oy в точке (0;\; 14).
Решение Так как известна вершина, то можно записать уравнение параболы в таком виде

    \[y=a(x-2)^{2} +6\]

Подставив в полученное уравнение точку (0;\; 14), найдем значение параметра a:

    \[\underline{14}=a\cdot (0-2)^{2} +6=\underline{4a+6}\Rightarrow a=2\]

Следовательно, уравнение параболы будет иметь вид

y=2(x-2)^{2} +6 или y=2x^{2} -8x+14

Ответ Уравнение параболы имеет вид: y=2x^{2} -8x+14