Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства параболы

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается уравнением

    \[y=ax^{2} +bx+c\]

и обладает следующими свойствами:

– если коэффициент a>0 и вершина параболы имеет координаты (x_{0} ,y_{0} ), то

Область определенияx\in R.

Область значенийy\ge y_{0}.

Функция убывает при x\in (-\infty ,x_{0} ), возрастает при x\in (x_{0} ,+\infty ).

Функция непрерывна и выпукла вниз.

Минимум функции y=y_{0}.

– если коэффициент a<0, а вершина параболы имеет координаты (x_{0} ,y_{0} ), то

Область определения – x\in R.

Область значений – y\le y_{0}.

Функция убывает при x\in (x_{0} ,+\infty ), возрастает при x\in (-\infty ,x_{0} ).

Функция непрерывна и выпукла вверх.

Максимум функции y=y_{0}.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание По графику функции, изображенной на рисунке 1, найти промежутки убывания и возрастания функции.
Решение На графике изображена парабола с вершиной в точке (2,-3), ветви которой направлены вверх, значит коэффициент a>0. Следовательно, функция убывает при x\in (-\infty ,2), а возрастает при x\in (2,+\infty ).
Ответ Функция убывает при x\in (-\infty ,2), возрастает при x\in (2,+\infty ).
ПРИМЕР 2
Задание Найти максимальное значение функции y=-x^{2} +2x-3
Решение Графиком функции y=-x^{2} +2x-3 является парабола, ветки которой направлены вниз (a=-1<0). Найдем координаты вершины параболы:

    \[x_{bep} =-\frac{b}{2a} =-\frac{2}{-2} =1,\]

    \[y_{bep} =y\left(x_{bep} \right)=ax_{bep}^{2} +bx_{bep} +c=-1^{2} +2\cdot 1-3=-2\]

Следовательно, максимальное значение функции y=-2.

Ответ Максимальное значение функции: y_{0} =-2