Свойства параболы

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается уравнением

$y=ax^{2} +bx+c$

и обладает следующими свойствами:

– если коэффициент $a>0$ и вершина параболы имеет координаты $(x_{0} ,y_{0} )$ , то

Функция убывает при $x\in (-\infty ,x_{0} )$ , возрастает при $x\in (x_{0} ,+\infty )$ .

Функция непрерывна и выпукла вниз.

Минимум функции $y=y_{0}$ .

– если коэффициент a<0, а вершина параболы имеет координаты $(x_{0} ,y_{0} )$ , то

Область определения – $x\in R$ .

Область значений – $y\le y_{0}$ .

Функция убывает при $x\in (x_{0} ,+\infty )$ , возрастает при $x\in (-\infty ,x_{0} )$ .

Функция непрерывна и выпукла вверх.

Максимум функции $y=y_{0}$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	По графику функции, изображенной на рисунке 1, найти промежутки убывания и возрастания функции.
Решение	На графике изображена парабола с вершиной в точке $(2,-3)$ , ветви которой направлены вверх, значит коэффициент $a>0$ . Следовательно, функция убывает при $x\in (-\infty ,2)$ , а возрастает при $x\in (2,+\infty )$ .
Ответ	Функция убывает при $x\in (-\infty ,2)$ , возрастает при $x\in (2,+\infty )$ .