Уравнение Менделеева-Клапейpона

Определение и формула уравнения Менделеева-Клапейpона

Если рассматривать некоторое количество газа, то эмпирически получено, что давление ( $p$ ), объем ( $V$ ) и температура ( $T$ ) полностью характеризуют эту массу газа как термодинамическую систему, если данный газ можно представить в виде совокупности нейтральных молекул, не имеющих дипольных моментов. В состоянии термодинамического равновесия $p,V,T$ связаны между собой уравнением состояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение состояния газа в виде:

$pV=\frac{m}{\mu }RT\left(1\right),$

(где $m$ — масса газа; $\mu$ — молярная масса газа; $R=8,3145$ Дж/Моль•К — универсальная газовая постоянная; температура воздуха в Кельвинах: $T=t+273$ ) было впервые получено Менделеевым.

Его легко получить из уравнения Клапейpона:

$\frac{pV}{T}=const\left(2\right),$

учитывая, что в соответствии с законом Авогадро один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем $V_0=22,4$ л. При этом получается, что:

$\frac{p_0V_0}{T_0}=R\ \left(3\right),$

$p_0=101325\ Pa, T_0=273,15\ K.$

Уравнение (1) называют уравнением Менделеева-Клапейpона. Иногда его записывают как:

$pV=\nu RT\left(4\right),$

где $\nu =\frac{m}{\mu }$ — количество вещества (число молей газа).

Уравнение Менделеева-Клапейpона получено на основе установленных эмпирически газовых законов. Так же как и газовые законы, уравнение Менделеева-Клапейpона является приближенным. Для разных газов границы применимости данного уравнения различны. Например, для гелия уравнение (1) справедливо в более широком диапазоне температур, чем для углекислого газа. Абсолютно точным уравнение Менделеева-Клапейpона является для идеального газа. Особенностью которого, является то, что его внутренняя энергия пропорциональна абсолютной температуре и не зависит от объема, который газ занимает.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Температуру воздуха в комнате повысили от $T_1$ до $T_2.$ Как при таких условиях изменится плотность воздуха в помещении ( $\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}$ )? Тепловым расширением стен пренебречь.

Решение

Если тепловым расширением стен можно пренебречь, то объем комнаты не изменяется. В том, случае, если воздух нагревается при постоянном объеме давление должно расти с увеличением температуры, при этом его плотность не изменяется. Однако комната не является герметичной, поэтому объем газа (воздуха) в помещении постоянным считать нельзя. Постоянным в нашем случае является давление, которое равно наружному давлению атмосферы. При увеличении температуры уменьшается масса воздуха в комнате, так как газ выходит через щели наружу.

Вычислить плотность воздуха, можно используя уравнение Менделеева-Клапейpона:

$pV=\frac{m}{\mu }RT\left(1.1\right).$

Разделим правую и левую части уравнения (1.1) на V, имеем:

$p=\frac{\rho }{\mu }RT\left(1.2\right).$

Из уравнения (1.2) выразим плотность ( $\rho$ ), получаем:

$\rho =\frac{p\mu }{RT}\left(1.3\right).$

Из выражения (1.3) видно, что при постоянном давлении плотность обратно пропорциональна температуре для одного и того же газа, значит:

$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{T_1}{T_2}.$

Ответ

$\frac{{\rho}_{2}}{{\rho}_{1}}=\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}.$

ПРИМЕР 2

Задание

Чему равен вес (P) оболочки воздушного шара, который наполнен водородом, если шарик находится во взвешенном состоянии? Давление внутри шара равно внешнему давлению атмосферы. Радиус шара R. Воздух и водород находятся при нормальных условиях.

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 1

В соответствии со вторым законом Ньютона для шарика запишем:

$m_{H_2}\overrightarrow{g}+\overrightarrow{P}+{\overrightarrow{F}}_A=0\left(2.1\right),$

где ускорение шарика равно нулю, так как по условию шар находится во взвешенном состоянии. В проекции на ось Y (рис.1) имеем:

${-m}_{H_2}g-P+F_A=0\left(2.2\right).$

По закону Архимеда:

$F_A=m_vg\left(2.3\right),$

где $m_v$ — масса воздуха в объема шара. Подставим (2.3) в выражение (2.2) и выразим искомый вес:

$P={-m}_{H_2}g+m_vg\left(2.4\right).$

Применим уравнение Менделеева-Клапейpона для нахождения масс воздуха ( $m_v$ ) и водорода ( $m_{H_2}$ ):

$pV=\frac{m}{\mu }RT\to pV=\frac{m_{H_2}}{{\mu }_{H_2}}RT\to m_{H_2}=\frac{pV{\mu }_{H_2}}{RT};\ m_v=\frac{pV{\mu }_v}{RT}\ \left(2.5\right).$

Подставим найденные массы в уравнение (2.4), имеем:

$P=\frac{pVg}{RT}\left({\mu }_v-{\mu }_{H_2}\right)=\frac{p4\pi R^3g}{3RT}\left({\mu }_v-{\mu }_{H_2}\right),$

где объем шара найден как:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Ответ

$P=\frac{p4\pi R^3g}{3RT}\left({\mu }_v-{\mu }_{H_2}\right)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Уравнение Менделеева-Клапейpона

Определение и формула уравнения Менделеева-Клапейpона

Примеры решения задач