Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение состояния идеального газа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Идеальным газом называют газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия.

Молекулы свободно движутся и лишь иногда сталкиваются между собой и со стенками сосуда, в котором находятся. Это значит, что в таком газе можно пренебречь потенциальной энергией его молекул в сравнении с кинетической. Газы можно считать идеальными с достаточной степенью точности в тех случаях, когда рассматриваются их состояния, далекие от областей фазовых превращений.

Уравнение состояния идеального газа

Параметры, с помощью которых описывают состояние идеального газа, как макросистемы это давление (p), объем (V), температура по шкале Кельвина (T). Очевидно, что уравнение, которое их связывает, является очень значимым с точки зрения теории и практики. Называется оно уравнением состояния идеального газа (иногда просто уравнением идеального газа):

    \[p=nkT \qquad  \qquad (1)\]

где k=1,38 \cdot 10^{-23}Дж/К – постоянная Больцмана,

    \[n=\frac{N}{V}\]

n- число молекул в единице объема газа ( концентрация частиц вещества), N — число его молекул в заданном объеме.

Уравнению (1) можно придать известную форму уравнения Клапейрона (Надо отметить, что от изменения формы записи уравнения (2), (3) не перестают быть уравнениями состояния идеального газа):

    \[p=\nu \frac{RT}{V} \qquad (2)\]

или

    \[p=\frac{RT}{\mu }\rho  \qquad (3)\]

где \nu— количество молей газа, R=N_A\cdot k=8,3 Дж/(моль•К) – молярная (универсальная) газовая постоянная, (N_A=6,022\cdot 10^{23} моль-1 (постоянная Авогадро)), \mu – молярная масса газа, \rhoплотность газа.

Уравнение состояния для смеси газов

Если газ представляет собой смесь газов, то уравнение (состояния) идеального газа принимает вид:

    \[p=\sum_i{{\nu }_i}\frac{RT}{V} \qquad  \qquad (4)\]

где{\ \nu }_i число молей i-го компонента смеси.

Для произвольной массы газа (m) с молярной массой \mu уравнение (состояния) идеального газа имеет вид:

    \[pV=\frac{m}{\mu }RT \qquad  \qquad (5)\]

Это уравнение называют уравнением Менделеева – Клапейрон и оно, опять таки, является уравнением идеального газа, точнее одной из форм записи этого уравнения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В баллоне содержится газ под давлением p_1=2,8 МПа при температуре {T}_1=280К. Удалив половину массы газа, баллон поместили в помещение с другой температурой. Какова температура в помещении {T}_2, если давление газа в баллоне стало равным p_2=1,5 МПа?
Решение Прежде всего, необходимо все имеющиеся данные перевести в систему СИ, так получим:

давление воздуха:

p_1=2,8 МПа = 2,8\cdot {10}^6 Па,

p_2=1,5 МПа = 1,5\cdot {10}^6 Па

Уравнение состояния идеального газа

рис. 1.

Запишем уравнение состояния идеального газа в виде уравнения Менделеева-Клайперона. В данном случае его использовать удобнее, так как в нем в явном виде присутствует масса газа. Для первого состояния имеем:

    \[ p_1V=\frac{m}{\mu }R{T}_1 , (1.1.) \]

для второго состояния имеет:

    \[p_2V=\frac{0,5m}{\mu }R{T}_2\ (1.2.)\]

Разделим уравнение (1.1.) на уравнение (1.2.). Получим:

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{{0,5\cdot T}_2}\]

Выразим искомую T_2=\frac{2\cdot p_2}{p_1}(1.3.)

Проведем расчет искомой температуры, подставим численные значения в формулу (1.3.):

    \[T_2=\frac{2\cdot 1,5\cdot {10}^6\cdot 280}{2,8\cdot {10}^6\cdot 0,5}=300\ K\]

Ответ Искомая температура 300 К
ПРИМЕР 2
Задание Закрытый цилиндр длиной l разделен на две части теплонепроницаемым поршнем. В обеих половинах находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре {T}_1. На какое расстояние сместится поршень, если температура газа в одной из частей повышена до T_2=300К .
Уравнение идеального газа

рис. 2

Решение Запишем уравнение идеального газа для левой части сосуда (используем форму (5)).

До нагревания

    \[pV=\frac{m}{\mu }RT_1\qquad (2.1)\]

После нагревания:

    \[p_1\left(V+\triangle V\right)=\frac{m}{\mu }RT_2.\qquad (2.2)\]

Разделим (2.2) на (2.1), получим:

    \[ \frac{p_1\left(V+\triangle V\right)}{pV}=\frac{T_2}{T_1} \]

или

    \[ \frac{pV}{T_1}=\frac{p_1\left(V+\triangle V\right)}{T_2}(2.3) \]

Для второй части сосуда:

    \[ pV=\frac{m}{\mu }RT_1  (2.4.) \]

После того как нагрели соседнюю часть сосуда:

    \[ p_2\left(V-\Delta V\right)=\frac{m}{\mu }RT_1 \qquad (2.5) \]

Из (2.4), (2.5) получаем:

    \[ \frac{pV}{T_1}=\frac{p_2\left(V-\Delta V\right)}{T_1}\qquad (2.6) \]

Левые части выражений (2.3) и (2.6.) равны, соответственно равны и правые:

    \[ \frac{p_1\left(V+\Delta V\right)}{T_2} = \frac{p_2\left(V-\Delta V\right)}{T_1} (2.7.), \]

где V=S\cdot \frac{l}{2},\ \Delta V=S\cdot \Delta l,

учтем, что поршень сместится на такое расстояние при котором давления в правой и левой частях будут равны (p_1=p_2).

Тогда \triangle l=\frac{l}{2}\cdot \frac{T_2-T_1}{T_2+T_1}

Ответ Поршень сместится на расстояние \Delta l=\frac{l}{2}\cdot \frac{T_2-T_1}{T_2+T_1}