Уравнение состояния идеального газа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Идеальным газом называют газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия.

Молекулы свободно движутся и лишь иногда сталкиваются между собой и со стенками сосуда, в котором находятся. Это значит, что в таком газе можно пренебречь потенциальной энергией его молекул в сравнении с кинетической. Газы можно считать идеальными с достаточной степенью точности в тех случаях, когда рассматриваются их состояния, далекие от областей фазовых превращений.

Уравнение состояния идеального газа

Параметры, с помощью которых описывают состояние идеального газа, как макросистемы это давление (p), объем (V), температура по шкале Кельвина (T). Очевидно, что уравнение, которое их связывает, является очень значимым с точки зрения теории и практики. Называется оно уравнением состояния идеального газа (иногда просто уравнением идеального газа):

$p=nkT \qquad \qquad (1)$

где $k=1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К – постоянная Больцмана,

$n=\frac{N}{V}$

n- число молекул в единице объема газа ( концентрация частиц вещества), N — число его молекул в заданном объеме.

Уравнению (1) можно придать известную форму уравнения Клапейрона (Надо отметить, что от изменения формы записи уравнения (2), (3) не перестают быть уравнениями состояния идеального газа):

$p=\nu \frac{RT}{V} \qquad (2)$

или

$p=\frac{RT}{\mu }\rho \qquad (3)$

где $\nu$ — количество молей газа, R $=N_A\cdot k$ =8,3 Дж/(моль•К) – молярная (универсальная) газовая постоянная, ( $N_A=6,022\cdot 10^{23}$ моль^-1 (постоянная Авогадро)), $\mu$ – молярная масса газа, $\rho$ – плотность газа.

Уравнение состояния для смеси газов

Если газ представляет собой смесь газов, то уравнение (состояния) идеального газа принимает вид:

$p=\sum_i{{\nu }_i}\frac{RT}{V} \qquad \qquad (4)$

где ${\ \nu }_i$ число молей i-го компонента смеси.

Для произвольной массы газа (m) с молярной массой $\mu$ уравнение (состояния) идеального газа имеет вид:

$pV=\frac{m}{\mu }RT \qquad \qquad (5)$

Это уравнение называют уравнением Менделеева – Клапейрон и оно, опять таки, является уравнением идеального газа, точнее одной из форм записи этого уравнения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В баллоне содержится газ под давлением $p_1=2,8$ МПа при температуре ${T}_1=280$ К. Удалив половину массы газа, баллон поместили в помещение с другой температурой. Какова температура в помещении ${T}_2$ , если давление газа в баллоне стало равным $p_2=1,5$ МПа?

Решение

Прежде всего, необходимо все имеющиеся данные перевести в систему СИ, так получим:

давление воздуха:

$p_1=2,8$ МПа $= 2,8\cdot {10}^6$ Па,

$p_2=1,5$ МПа $= 1,5\cdot {10}^6$ Па

рис. 1.

Запишем уравнение состояния идеального газа в виде уравнения Менделеева-Клайперона. В данном случае его использовать удобнее, так как в нем в явном виде присутствует масса газа. Для первого состояния имеем:

$p_1V=\frac{m}{\mu }R{T}_1 , (1.1.)$

для второго состояния имеет:

$p_2V=\frac{0,5m}{\mu }R{T}_2\ (1.2.)$

Разделим уравнение (1.1.) на уравнение (1.2.). Получим:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{{0,5\cdot T}_2}$

Выразим искомую $T_2=\frac{2\cdot p_2}{p_1}(1.3.)$

Проведем расчет искомой температуры, подставим численные значения в формулу (1.3.):

$T_2=\frac{2\cdot 1,5\cdot {10}^6\cdot 280}{2,8\cdot {10}^6\cdot 0,5}=300\ K$

Ответ

Искомая температура 300 К

ПРИМЕР 2

Задание

Закрытый цилиндр длиной l разделен на две части теплонепроницаемым поршнем. В обеих половинах находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре ${T}_1$ . На какое расстояние сместится поршень, если температура газа в одной из частей повышена до $T_2=300К$ .