Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Ван-дер-Ваальса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Ван-дер-Ваальса связывает между собой основные термодинамические параметры для реального газа.

При низких давлениях и высоких температурах закон Менделеева-Клапейрона также довольно точно описывает поведение реальных газов, однако в других условиях реальные газы значительно отклоняются от идеальности. Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает эти отклонения.

Формула уравнения Ван-дер-Ваальса

Уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид:

    \[(p+\frac{an^2}{v^2} )(V-bn )=nRT\]

В этом уравнении n – количество молей газа, р – его давление, V – занимаемый газом объем, Т – абсолютна температура газа. Универсальная газовая постоянная имеет значение 8,31441 Дж/(моль•К), одинаковое для всех газов.

Переменная а – это поправка на силу притяжения между молекулами газа. Под действием этой силы молекулы притягиваются друг к другу, внутрь газа, уменьшая давление на стенку. Переменная b – поправка, учитывающая собственный объем, занимаемый молекулами газа. Эти поправки зависят от вида газа, и могут быть найдены из таблиц либо рассчитаны по следующим формулам:

    \[a=\frac{27T_{kr}^2 R^2}{64p_{kr}} \]

    \[b=\frac{64T_{kr} R}{8p_{kr}} \]

Здесь p_{kr} и T_{kr} – это давление и абсолютная температура газа в критической точке, то есть в точке перехода газообразной фазы в жидкую.

В реальном газе расстояния между молекулами меньше, чем в идеальном, и сравнимы с размерами самих молекул. Поэтому силы взаимодействия между молекулами становятся достаточно большими. В объеме газа молекула со всех сторон окружена другими молекулами, и силы их притяжения уравновешиваются. Однако когда молекула приближается к стенке, силы притяжения больше не уравновешиваются и «втягивают» её внутрь. Поэтому молекула движется к стенке медленнее, из-за чего давление на стенку уменьшается. Это и учитывает поправка а.

Уравнение Ван-дер-Ваальса

Кроме того, за счёт сил межмолекулярного взаимодействия реальные газы способны переходить в жидкое состояние, и уравнение Ван-дер-Ваальса довольно точно описывает поведение газов вблизи этого перехода.

Уравнение газа Ван-дер-Ваальса

Так как в реальном газе расстояние между молекулами сравнительно невелико, молекула должна пролететь меньшее расстояние, чтобы удариться о стенку. Поэтому при очень больших давлениях давление на стенку возрастает, и это учитывает поправка b.

Уравнение Ван-дер-Ваальса применяется, в частности, при определении параметров пара в теплотехнике и теплотехнике, при исследовании сжижения газов.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Какую температуру имеет азот массой 2 грамма, занимающий объём 800 см ^{3} при давлении 0,2 МПа, если его рассматривать как реальный газ?
Решение Для удобства переведем значения величин в систему СИ:

800 см3 = 0,0008 м3;

0,2 МПа = 2•105 Па.

Табличные значения поправок a и b для азота:

a = 0,136 Па•м6/моль2;

b = 3,85•10-5 м3/моль.

Определим, сколько молей содержится в 4 г водорода. Учтём, что водород – двухатомный газ, поэтому его молекулярная масса М – сумма двух атомных масс водорода А.

n=\frac{m}{M} =\frac{m}{2\cdot A} =\frac{2}{2\cdot 14} =0,071 моль.

Выразим температуру из уравнения Ван-дер-Ваальса:

    \[(p+\frac{an^2}{v^2} )(V-bn )=nRT\]

    \[T=\frac{(p+\frac{an^2}{v^2} )(V-bn )}{nR} =\frac{(2\cdot 10^5 +\frac{0,136\cdot 0,071^2}{0,0008^2} )\cdot (0,0008-3,85\cdot 10^{-5} \cdot 0,071)}{0,071\cdot 8,31} =270\ K\]

Ответ T=270 К
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить поправки a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если известны критическая температура Ткр = 126 К и критическое давление ркр = 3,39 МПа.
Пример 1, Уравнение Ван-дер-Ваальса
Решение Помножив уравнение Ван-дер-Ваальса на V^3 и разделив на p, получим кубическое уравнение относительно объема:

    \[(p+\frac{an^2}{v^2} )(V-bn )=nRT\]

    \[v^3 -(b+\frac{RT}{p} )v^2 +\frac{a}{p} V-\frac{ab}{p} =0\]

Это уравнение имеет три корня. В точке перегиба, показанной на рисунке, все эти корни действительны и равны друг другу. Точка перегиба и есть критической точкой, в которой газообразная фаза переходит в жидкую.

Чтобы найти критические параметры, воспользуемся свойствами точки перегиба: первая и вторая производная уравнения обращаются в нуль.

    \[\frac{dP}{dV} =-\frac{RT}{(V-b)^2} +\frac{2a}{v^3} =0\]

    \[\frac{d^2 P}{dV^2} =-\frac{2RT}{(V-b)^3} +\frac{6a}{v^4} =0\]

Решим эти уравнения относительно объема и температуры, получим критические параметры:

    \[V_{k} =3b \]

    \[T_{k} =\frac{8a}{27Rb} \]

Выразив давление из уравнения Ван-дер-Ваальса и записав это уравнение для критических параметров, получим:

    \[p_{kr} =\frac{nRT_{kr}}{V_{kr} -bn} -\frac{an^2}{V_{kr}^2} \]

Подставим в это уравнение V_{k} =3b, и после решения получим:

    \[p_{kr} =\frac{a}{27b^2} \]

Запишем систему уравнений:

    \[\left\{\begin{array}{l} {T_{k} =\frac{8a}{27Rb}} \\ {p_{kr} =\frac{a}{27b^2}} \end{array}\right\]

Найдем из нее b:

b=\frac{RT_{kr}}{8p_{kr}} =\frac{8,31\cdot 126}{8\cdot 3,4\cdot 10^6} =3,859\cdot 10^{-5} м3/моль.

Подставив b во второе уравнение системы, получим:

a=p_{kr} \cdot 27b^2 =3,39\cdot 10^6 \cdot 27\cdot \left(3,859\cdot 10^{-5} \right)^2 =0,136 Па•м6/моль2.

Ответ a=0,136 Па•м ^{6}/моль ^{2}, b=3,859\cdot 10^{-5} м ^{3}/моль
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.