Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Закон (Сила) Архимеда

Закон Архимеда, формула и определение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Закон (Сила) Архимеда: На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости:

    \[ F_A=\rho gV \]

где \rhoплотность жидкости, V — объем погруженной части тела.

Рис.1. Возникновение выталкивающей силы

На рис.1 изображен брусок, погруженный в жидкость. Силы давления со стороны жидкости, действующие на боковые стенки бруска, уравновешивают друг друга. Силы, действующие на нижнее и верхнее основания бруска, определяются глубиной, на которой находятся соответствующие основания. Очевидно, что силы, действующие на нижнее основание бруска, больше. Таким образом, возникновение выталкивающей силы (силы Архимеда) обусловлено различием гидростатических давлений на нижнее и верхнее основания бруска.

Если в состоянии покоя вес тела P_0=mg, то при погружении в жидкость, его вес изменится и станет равным:

    \[P=P_0-F_A=mg-\rho gV\]

Приведенная формулировка закона Архимеда справедлива, если вся поверхность тела соприкасается с жидкостью или если тело плавает в жидкости, или если тело частично погружено в жидкость через свободную (не соприкасающуюся со стенками) поверхность жидкости. Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим.

Закон Архимеда несправедлив в состоянии невесомости, так как в этом состоянии исчезает различие гидростатических давлений на разных глубинах и, следовательно, выталкивающая сила становится равной нулю.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вес тела в воде в 2,7 раза меньше, чем в воздухе. Из какого вещества изготовлено тело?
Решение Вес тела в воздухе:

    \[P_0=mg\]

вес тела в воде:

    \[P=P_0-F_A=mg-\rho gV\]

где \rho — плотность жидкости.

По условию задачи:

    \[2,7P=P_0\]

или

    \[2,7\left(mg-\rho gV\right)=mg;\]

    \[2,7mg-2,7\rho gV=mg;\]

    \[1,7mg=2,7\rho gV;\]

    \[1,7m=2,7\rho V\]

Масса тела:

    \[m={\rho }_1V\]

где {\rho }_1плотность вещества, из которого изготовлено тело.

Подставим значение массы тела в последнее соотношение, получим:

    \[1,7{\rho }_1V=2,7\rho V;\]

    \[1,7{\rho }_1=2,7\rho \]

откуда плотность вещества, из которого изготовлено тело:

    \[{\rho }_1=\frac{2,7\rho }{1,7}=1,6\rho \]

По таблицам определяем плотность воды \rho =1000 кг/м ^{3}.

Вычислим:

{\rho }_1=1,6\cdot 1000=1600 кг/м ^{3}

По таблицам определяем вещество с плотностью 1600 кг/м ^{3}. Это сахар-рафинад.

Ответ Искомое вещество сахар-рафинад.
ПРИМЕР 2 (задача Архимеда)
Задание Найти массу золота в короне, изготовленной из сплава золота и серебра. Вес короны в воздухе 25,4 Н, в воде — 23,4 Н.
Решение Вес короны в воде:

    \[P=P_0-F_A\]

где P_0- вес короны в воздухе.

Отсюда Архимедова сила:

    \[F_A=P_0-P\]

С другой стороны сила Архимеда:

    \[F_A=\ \rho gV\]

поэтому можно записать:

    \[\rho gV=P_0-P\]

Объем короны равен сумме объемов золота и серебра:

    \[V=V_1+V_2=\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{m_2}{{\rho }_2}\]

Вес короны в воздухе:

    \[P_0=mg\]

откуда масса короны:

    \[m=\frac{P_0}{g}\]

Так как масса короны — это сумма масс золота и серебра, можно записать:

    \[m_2=m-m_1=\frac{P_0}{g}-m_1\]

С учетом последнего объем короны:

    \[V=\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{1}{{\rho }_2}\left(\frac{P_0}{g}-m_1\right)\]

Подставив значение объема в выражение для Архимедовой силы, получим:

    \[\rho g\left(\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{1}{{\rho }_2}\left(\frac{P_0}{g}-m_1\right)\right)=P_0-P;\]

    \[\frac{\rho gm_1}{{\rho }_1}+\frac{\rho P_0}{{\rho }_2}-\frac{\rho gm_1}{{\rho }_2}=P_0-P;\]

    \[\rho gm_1\left(\frac{1}{{\rho }_1}-\frac{1}{{\rho }_2}\right)=P_0-P-\frac{\rho P_0}{{\rho }_2};\]

откуда масса золота в короне:

    \[m_1=\frac{P_0\left(1-\frac{\rho }{{\rho }_2}\right)-P}{\rho g\left(\frac{1}{{\rho }_1}-\frac{1}{{\rho }_2}\right)}\]

По таблицам определяем:

плотность воды \rho =1000 кг/м ^{3};

плотность золота {\rho }_1=19,3\cdot {10}^3 кг/м ^{3};

плотность серебра {\rho }_2=10,5\cdot {10}^3 кг/м ^{3}.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}.

Вычислим:

    \[m_1=\frac{25,4\left(1-\frac{{10}^3}{10,5\cdot {10}^3}\right)-23,4}{{10}^3\cdot 9,8\cdot \left(\frac{1}{19,3\cdot {10}^3}-\frac{1}{10,5\cdot {10}^3}\right)}=0,985\ kg=985\ g\]

Ответ Масса золота в короне 985 г.
ПРИМЕР 3
Задание Полый железный шар взвешивают в воздухе и керосине. Показания динамометра соответственно равны 2,59 Н и 2,16 Н. Определить объем внутренней полости. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Решение Выполним рисунок.

При взвешивании шара в воздухе на шар действуют сила тяжести m\overline{g} и сила упругости пружины динамометра {\overline{T}}_1.

Условие равновесия шара в воздухе запишется в виде:

    \[m\overline{g}+{\overline{T}}_1=0\]

Выберем координатную ось, как показано на рисунке, и спроектируем это векторное равенство на направление выбранной оси:

    \[-mg+T_1=0\]

откуда масса шара:

    \[m=\frac{T_1}{g}\]

При взвешивании в керосине на шар действуют сила тяжести m\overline{g}, сила упругости пружины динамометра {\overline{T}}_2 и сила Архимеда {\overline{F}}_A. В этом случае условие равновесия шара запишется в виде:

    \[m\overline{g}+{\overline{T}}_1+{\overline{F}}_A=0\]

или в проекции на координатную ось:

    \[-mg+T_2+F_A=0\]

Подставив в последнее уравнение выражение для массы шара, полученное из первого уравнения, а также учитывая, что сила Архимеда F_A={\rho }_2gV ({\rho }_2 — плотность керосина, V — объем шара), получим:

    \[T_2-T_1+{\rho }_2gV=0\]

откуда найдем объем шара:

    \[V=\frac{T_1-T_2}{{\rho }_2g}\]

Объем внутренней полости:

    \[v=V-V_1\]

где

    \[V_1=\frac{m}{{\rho }_1}=\frac{T_1}{{\rho }_1g}\]

(здесь V_1 — объем, занимаемый железом, {\rho }_1плотность железа).

Поэтому объем полости:

    \[v=\frac{T_1-T_2}{{\rho }_2g}-\frac{T_1}{{\rho }_1g}\]

По таблицам определяем плотности веществ:

плотность железа {\rho }_1=7800 кг/м ^{3};

плотность керосина {\rho }_2=800 кг/м ^{3}.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}.

Вычислим:

    \[v=\frac{2,59-2,16}{800\cdot 9,8}-\frac{2,59}{7800\cdot 9,8}=2,1\cdot {10}^{-5}\ m^3\ \]

Ответ Объем внутренней полости составляет 2,1\cdot {10}^{-5} м ^{3}.