Универсальная газовая постоянная

Уравнение состояния идеального газа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение состояния идеального газа – это уравнение, устанавливающее связь между параметрами состояния газа: давлением, объемом, температурой.

Для неизменной массы идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре в данном состоянии есть величина постоянная:

$\frac{pV}{T}=const$

Выясним, чему равна эта постоянная величина. Рассмотрим 1 моль идеального газа. При нормальных условиях газ имеет температуру $T_0$ =273 K и давление $p_0$ =101325 Па. При таких условиях 1 моль этого газа занимает объем $V_{\mu}=22,4\ l=0,0224\ m^3$ .

Подставив эти значения в уравнение состояния, получим:

$\frac{p_0V_{\mu}}{T_0}=\frac{101325\cdot 0,0224}{273}=8,31\ \frac{J\cdot mol}{K}$

Универсальная газовая постоянная

Таким образом, для 1 моля идеального газа произведение давления на объем, отнесенное к абсолютной температуре есть величина постоянная для всех газов. Эта величина называется универсальной газовой постоянной:

$R=8,31\ \frac{J\cdot mol}{K}\$

Уравнение состояния идеального газа было получено французским физиком Б. Клапейроном в 1834 г. Это уравнение полностью определяет параметры состояния термодинамической системы при переходе из одного состояния в другое.

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 уравнение состояния записывают в виде:

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\$

Знание уравнения состояния очень важно при исследовании тепловых процессов. Это уравнение позволяет полностью или частично ответить на ряд вопросов:

уравнение состояния позволяет определить одну из величин, характеризующих состояние, например температуру, если известны две другие величины.
уравнение состояния позволяет определить, как протекают в системе различные процессы при определенных внешних условиях: например, как будет меняться давление газа, если увеличивать его объем при неизменной температуре, и т. д.
зная уравнение состояния, можно определить, как меняется состояние системы, если она совершает работу или получает теплоту от окружающих тел.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Газ при давлении $p_1=0,2$ МПа и температуре $t_1={15}^\circ C$ имеет объем $V_1=5$ л. На сколько изменится объем этой массы газа при нормальных условиях?

Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона):

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_0V_0}{T_0}\$

где $p_0, V_0, T_0$ – параметры состояния газа при нормальных условиях.

Найдем из этого уравнения объем, который будет занимать газ при нормальных условиях:

$V_0=\frac{p_1T_0}{p_0T_1}\cdot V_1$

Изменение объема:

$\triangle V=V_0-V_1=\frac{p_1T_0}{p_0T_1}\cdot V_1-V_1=V_1\left(\frac{p_1T_0}{p_0T_1}-1\right)$

Параметры состояния газа при нормальных условиях:

давление $p_0={10}^5$ Па;

температура $T_0=273$ К.

Переведем единицы в систему СИ: $p_1=0,2$ МПа= $2\cdot {10}^5$ Па; $T_1=288\ K; V_1=5\cdot {10}^{-3}$ л.

Вычислим:

$\triangle V=5\cdot {10}^{-3}\cdot \left(\frac{2\cdot {10}^5\cdot 273}{{10}^5\cdot 288}-1\right)=4,5\cdot {10}^{-3}\ m^3=4,5\ l$

Ответ

Объем газа изменится на 4,5 л.

ПРИМЕР 2

Задание

Резиновая лодка может выдержать давление надутого в нее воздуха не более $p_{max}=112$ кПа. При этом увеличение объема лодки не должно превышать 5%. Лодку надули до давления $p_1=106$ кПа при температуре $t_1={10}^\circ C$ . Не лопнет ли лодка, когда температура повысится до $t_2={33}^\circ C$ ?

Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона):

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\$

В данном случае $V_2=V_1+\triangle V=V_1+0,05V_1=1,05V_1$ .

С учетом этого:

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot 1,05V_1}{T_2}\$

или

$\frac{p_1}{T_1}=\frac{{1,05p}_2}{T_2}$

откуда давление воздуха в лодке после повышения температуры:

$p_2=\frac{p_1T_2}{{1,05T}_1}$

Переведем единицы в систему СИ: $p_1=106$ кПа=106000 Па; $T_1=283\ K; T_2=306\ K$ .

Вычислим:

$p_2=\frac{106000\cdot 306}{1,05\cdot 283}=1,1\cdot {10}^5\ Pa=110\ kPa$

Так как $p_2<p_{max}$ , лодка не лопнет.

Ответ

После повышения температуры лодка не лопнет.

ПРИМЕР 3

Задание

Тонкий резиновый шар радиусом $R_1=2$ см заполнен воздухом при температуре $t_1={20}^\circ C$ и давлением $p_1=0,1$ МПа. Каков будет радиус шара $R_2,$ если его опустить в воду с температурой $t_2=4^\circ C$ на глубину h=20 м? Атмосферное давление нормальное.

Решение

Очевидно, что масса воздуха в шаре при погружении его в воду не меняется, поэтому можно применить уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона):

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\$

Объем воздуха в шаре до и после погружения выразим через радиусы шара до и после погружения:

$V_1=\frac{4}{3}\pi {R_1}^3;$

$V_2=\frac{4}{3}\pi {R_2}^3$

Давление воздуха в шаре под водой $p_2$ равно давлению на шар снаружи и складывается из атмосферного давления и гидростатического давления на глубине $h$ :