Уравнение движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение движения – это уравнение (или система уравнений), которые определяют закон изменения механической или динамической системы во времени и пространстве. Уравнение движения, дополненные начальными условиями, полностью задают состояние системы в определенной точке пространства и в определенный момент времени.

Как получить уравнение движения?

Допустим, в какой-то момент времени мы знаем все параметры, определяющие состояние системы – например, скорости и координаты, — а также их производные по времени. Тогда мы можем рассчитать эти параметры и для момента времени, отстоящего от начального на малый промежуток времени. Если мы выберем малый, но конечный промежуток времени $\delta t$ , мы можем приближенно оценить состояние системы в любой момент времени. Для получения точного уравнения движения нужно определить функцию, описывающую процесс: если временной шаг $\delta t$ выбран достаточно малым, то приближенно вычисленные характеристики системы будут лежать к этой функции очень близко.

Для каждой области физики существуют свои уравнения движения

В классической механике эту функцию, в первую очередь, выполняют законы Ньютона. Их дополняют закон тяготения и кинематические законы, связывающие перемещение, скорость и ускорение. Так, второй закон Ньютона – это уравнение движения материальной точки массой $m$ , связывающий силу $F$ , приложенную к точке, и ускорение $a$ , которое точка вследствие этого приобрела:

$\bar{a}=\frac{\bar{F}}{m}$

В то время как законы движения классической механики определяют движение макроскопических материальных тел, то движение микроскопических частичек (например, в газе) описывается с помощью статистических распределений. К примеру, уравнение движение Больцмана позволяет найти распределение плотности частичек в пространстве f:

$\frac{\partial f}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial \bar{x}} \cdot \frac{\bar{p}}{m} +\frac{\partial f}{\partial \bar{p}} \cdot \bar{F}=\frac{\partial f}{\partial t_{coll } }$

В этом уравнении $\bar{x}$ – пространственная координата, $\bar{p}$ – импульс, $m$ – масса частичек, $t$ – время, $\bar{F}$ – поле действующих сил, а слагаемая $\frac{\partial f}{\partial t_{coll } }$ учитывает столкновения частиц.

Движение сплошной среды описывают с помощью системы уравнений Коши, частными случаями которой являются уравнения Эйлера и Навье-Стокса:

$\frac{d\bar{v}}{dt } =\bar{g}-\frac{1}{\rho } grad\; p$

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{\partial v_{i} }{\partial t} +v_{k} \frac{\partial v_{i} }{\partial x_{k} } =-\frac{1}{\rho } \frac{\partial p}{\partial x_{i} } +\nu \frac{\partial }{\partial x_{k} } (\frac{\partial v_{i} }{\partial x_{k} } +\frac{\partial v_{k} }{\partial x_{i} } )} \\ {\frac{\partial \rho }{\partial t} +\nabla (\rho \bar{v})=0} \end{array}\right$

В квантовой механике также существуют уравнения, которые характеризуют движение волновой функции (а элементарные частицы одновременно являются и волнами). Однако можно ли их называть уравнениями движения – спорный вопрос. Ведь квантовые системы неопределенны по своей природе, а значит, нельзя получить точное решение уравнения движения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Дано уравнение движения точки: $x=2\sin( \frac{\pi }{2} t+ \frac{\pi }{4} )$ см. Нужно определить период колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение точки.

Решение

Скорость точки найдём из кинематического закона:

$v= \frac{dx }{dt } =(2\sin( \frac{\pi }{2} t+ \frac{\pi }{4} ))'=\pi \cos (\frac{\pi }{2} t+ \frac{\pi }{4} )$

Найдём ускорение точки:

$a= \frac{dv }{dt } =(\pi \cos (\frac{\pi }{2} t+ \frac{\pi }{4} ))'=\frac{\pi ^2 }{2} \sin (\frac{\pi }{2} t+ \frac{\pi }{4} )$

Численный множитель переменной t в аргументе – это циклическая частота. Из неё найдем период колебаний:

$T= \frac{2\pi }{\omega } =\frac{2\pi }{\pi /2 } =4 c$

Максимальную скорость и ускорение найдём, зная, что максимальное значение гармонических функций – единица:

$v_{max}=\pi$ м/с,

$a_{max}=\frac{\pi ^2 }{2}$ м/с.

Ответ

Т = 4 с, $v_{max}=\pi$ м/с, $a_{max}=\frac{\pi ^2 }{2}$ м/с

ПРИМЕР 2

Задание

Материальная точка имеет массу $m = 5$ кг. Она падает вертикально в среде с сопротивлением. Уравнение движения точки имеет вид: $y=\frac{1}{2} g\left[t-\frac{1}{2} (1-e^{-2t} )\right].$ Определить силу сопротивления в момент времени 10 с.

Решение

Точка движется под действием двух сил: силы тяжести $m\bar{g}$ и силы сопротивления $\bar{R}$ . Запишем проекцию равнодействующей этих сил на уравнение движения:

$F_{y} =mg -R$