Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основное уравнение динамики вращательного движения

Представим твёрдое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси вследствие действия силы \bar{F} (Н) с плечом силы \bar{r} (м). Тело при этом движется с угловой скоростью \omega (радиан/с) и приобретает угловое ускорение \varepsilon = \frac{d\omega }{dt } (радиан/с2). Угловая скорость \omega показывает, на какой угол тело повернулось вокруг оси за единицу времени. В то время как для поступательного движения мерой инерции служит масса, при расчётах вращательного движения с этой целью используют момент инерции, характеризующий распределение массы по объему тела: J=\sum mr ^2 =\int _{V}\rho r ^2 dV (здесь \rho и r – функции, описывающие плотность точек тела и их расстояние до оси вращения; m – масса каждой точки, V – объем тела). Момент инерции измеряется в кг•м2.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения

Чтобы описать вращательное движение, связав причину движения (воздействующую силу) и следствие (приобретение углового ускорения), используют основное уравнение динамики вращательного движения:

    \[M=J\frac{d\omega }{dt } \]

Здесь M = F \cdot r – момент силы, характеризующий, насколько интенсивно сила воздействует на тело.

Следует заметить, что на самом деле момент силы М и угловая скорость \omega – векторные величины. Однако уравнение динамики вращения связывает именно их абсолютные, скалярные значения.

Если момент инерции тела может изменяться во времени (например, в прессах ударного действия с этой целью внутрь маховых масс подают жидкость), то уравнение динамики вращательного движения примет более общий вид:

    \[M=\frac{d(J\omega ) }{dt } \]

Произведение J\omega = L – это момент количества движения всех точек тела относительно оси вращения. Иногда его также называют «импульс вращения».

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Шар диаметром 20 см и массой 5 кг совершает движение вокруг оси симметрии. Это движение описывается законом \omega =2At +3Bt ^2. A=2 рад/с ^{2}, B=-0,5 рад/с ^{3}. Найдите момент сил относительно оси в момент времени t=3 c.
Решение Радиус шара равен половине диаметра: R=0,1 м

Рассчитаем момент инерции (моменты инерций для разных фигур можно найти в справочной литературе):

J=\frac{2}{5} mR^2 =\frac{2}{5} \cdot 5\cdot 0,1^2 =0,02 кг•м2.

Найдём момент сил с помощью уравнения динамики вращения:

    \[M=J\frac{d\omega }{dt } =J\cdot (2At +3Bt ^2 )'=J\cdot (2A+6Bt )=0,02\cdot (2\cdot 2+6\cdot (-0,5)\cdot 3)=-0,1\ H\cdot m\]

Ответ M=-0,1 H\cdot m
ПРИМЕР 2
Задание Маховик имеет момент инерции 245 кг•м2 и вращается с частотой 20 с-1. В какой-то момент времени к нему приложили силу торможения, и через 1 минуту маховик остановился. Радиус маховика 0,2 м. Вычислить величину момента тормозящей силы и количество полных оборотов, совершенных маховиком до остановки.
Пример основного уравнения динамики вращательного движения
Решение На маховик действует только одна сила, создающая момент сил – сила трения. Поэтому уравнение динамики вращательного движения примет вид:

    \[M_{tr} =J\frac{d\omega }{dt } \]

Так как маховик равномерно замедляется, найдем составляющую \frac{d\omega }{dt }:

    \[\frac{d\omega }{dt } =\frac{\omega _0 -\omega }{t_1 } =\frac{2\pi v _0 -0}{t_1 } =\frac{2\pi v _0 }{t_1 } \]

Подставим это выражение в уравнение динамики вращательного движения:

    \[M_{tr} =J\cdot \frac{2\pi v _0 }{t_1 } =245\cdot \frac{2\pi \cdot 20 }{60} =513\ H\cdot m \]

Полное число оборотов получим, умножив среднюю частоту вращения маховика за время торможения на время t_1. Средняя частота вращения определяется как среднее арифметическое:

\bar{v}=\frac{v_0 +v }{2} =\frac{20+0 }{2} =10 м/с.

Полное число оборотов:

N=\bar{v}\cdot t_1 =10\cdot 60=600 оборотов.

Ответ M_{tr} =513\ H\cdot m;\ N = 600 оборотов
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.