Основное уравнение движения

Рассмотрим систему тел, представленных материальными точками – это значит, что размеры тел не имеют значения, и мы считаем, что вся масса тела сконцентрирована в одной точке. Силы, с которыми эти тела действуют друг на друга, называются внутренними силами. Результирующую внутреннюю силу мы получим, сложив векторы всех внутренних сил. Так как по третьему закону Ньютона $\overline{F_{ik } }=\overline{F_{ki } }$ , то результирующая сила будет равна нулю:

$\overline{F_{vnutr} }=\sum _{i\ne k}^{n}\overline{F_{ik } } =0$

Внешние силы – это те, с которыми тела, находящиеся вне системы, действуют на ее i-ю точку. Результирующая внешних сил может быть найдена из формулы:

$\overline{F}=\overline{F_{vnechn} }=\sum _{i}^{n}\overline{F_{i\ vnechn} }$

Для этого случая основной закон динамики поступательного движения имеет вид:

$\overline{F}=\frac{d\overline{p}}{dt }$

Здесь $\overline{p}$ — импульс всех сил, действующих на систему точек извне, а t – время. Собственно $\frac{d\overline{p}}{dt }$ — это скорость, с которой изменяется импульс.

Уравнение для поступательного движения

Основной закон динамики для поступательного движения можно записать и несколько по-другому:

$\overline{F}=m\overline{a}$

где $\overline{a}$ — ускорение центра инерции системы.

Координаты центра инерции системы можно найти, зная расстояние к каждой точке от произвольно выбранного центра координат:

$x_{c} =\frac{\sum _{i}^{n}m_{i} x_{i} }{\sum _{i}^{n}m_{i} } ;\; y _{c} =\frac{\sum _{i}^{n}m_{i} y_{i} }{\sum _{i}^{n}m_{i} }$

Поэтому можно описать движение системы материальных точек, как движение одной точки, которая имеет массу всей системы и находится под действием результирующего вектора всех внешних сил, действующих на систему.

Конечно же, это уравнение можно применить и для одной материальной точки. Тогда основное уравнение будет записано аналогично, а центр инерции находить не придется – он будет очевидно определен как местонахождение заданной точки.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Материальная точка массой $m = 2$ кг движется под действием силы F. Траектория её движения описывается уравнением: $x=A+Bt+Ct^2+Dt^3$ , где $C=1$ м/с $^{2}$ , $D=-0,2$ м/с $^{3}$ . Найти значение этой силы в момент времени $t = 2$ c.

Решение

Так как в систему материальных точек входит только одна точка, центр инерции искать не нужно.

Найдем ускорение, приложенное к точке:

$a=x''=(A+Bt+Ct ^2 +Dt ^3 )''=2C+6Dt$

Согласно основному закону поступательного движения:

$F=ma=m(2C+6Dt)=2 \cdot (1 \cdot 1+6 \cdot (-0,2)\cdot 2)=-0,8 H$

Ответ

$F = -0,8 H$

ПРИМЕР 2

Задание

Тело массой m начинает движение под действием силы $\overline{F}$ по горизонтальной поверхности. Трением о поверхность можно пренебречь. Сила, влияющая на тело, изменяется со временем про закону $F = kt$ . Найти закон, описывающий траекторию тела.

Решение

Выбираем начало координат в точке, где изначально покоилось тело. Пусть ось Ох направлена в ту же сторону, что и движение тела. Начальные условия примут вид:

при $t = 0, x = 0, V_{x} =\dot{x}=0$ .

Внешние силы, действующие на тело: $\overline{F}$ , $\overline{P}$ (сила тяжести) и $\overline{N}$ (реакция поверхности). Спроектируем эти силы на ось Ох: $F_{x} =F=kt$ , $P_{x} =0$ , $N_{x} =0$ .